Arntzenius, Instantaneous Velocity

본 글은 2020-1학기 포항공대 이충형 교수님의 ‘시공간과 물질의 철학’ 수업의 읽기자료의 내용을 정리한 것입니다. 물리학도는 아니지만 수업의 본질에 다가가고자 이렇게 문서형태로 정리해둡니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

읽기자료:
Are There Really Instantaneous Velocities?, Arntzenius, 2000

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중략

전자기학과 time-reversal

주의:
저자는 지금 time-reversible과 inverse sequence에 대한 우리의 통념을 비틀고 있다.

우리는 지금까지 뉴턴 역학에서의 time-reversible에 대해 논의해왔다. 마찬가지로 전자기학도 time-reversible하다고 여겨진다. 전자기학에서는 정말로 time-reversible 할까? 논의해보자!

대부분의 교재는 전자기학이 time-reversible하다고 기술하고, 우리도 그렇다고 생각한다. ¹ 그럼 정말로 time-reversible이 가능한지 어떤 전자기장에서 벌어지는 일들에 대해 그것의 역과정(inverse sequence)을 살펴보자.

우리는 전자기장에서 inverse sequene를 얻기 위해 (1)과 (2)를 적용할 수 있다.

1. 기존의 벌어지는 일을 그대로 역으로 나열한다. inverts an allowed sequence
   
2. magnetic field을 방향을 뒤집는다. flips over the magnetic fields
   

그러면 우리는 기존의 sequence와 궤적의 모양은 동일하지만 기존 sequence의 inverse sequence인 새로운 sequence를 얻게 된다. 그리고 이 sequence는 전자기학을 위배하지 않는다.

어떤 상황인지 잘 이해가 안 된다면, 아래의 그림에서 어떤 상황인지 한번 생각해보자!
(1)과 (2)를 적용하여 자기장과 전류의 방향을 반전시켜도 전자기학을 위배하지 않는다!

뉴턴 역학에서는 time-reversal에 따른 역과정을 얻기 위해 velocity에 time-reversal operation을 적용했다. 하지만 (우리가 (2)에서 뒤집은) magnetic field는 어떤 것의 velocity도 아닌 그 무엇이다! 그래서 우리는 (2)가 가능하다고 쉽사리 보장할 수가 없다.

전자기학이 우리를 구원하나 싶었지만 (2) 과정에서의 약점이 드러나고 말았다… ² 게다가 state에 대한 time-reversal operation에 반대하는 입장에서는 (2) 과정도 허용하지 않으므로, 그들은 전자기학도 time-reversal하지 않다고 주장하게 된다. 이것은 정말 말도 안 되는 주장이다!!

요약:

• 전자기학의 time-reversible 성질로부터 뉴턴 역학의 time-reversible을 주장할 수 없다.
  
• “뉴턴 역학처럼 전자기학도 time-reversible하지 않다”까지 주장함.

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전자기학과 time direction

잠깐 딴 길로는 가는 내용인데, “전자기학이 time-reversal하지 않다”는 것이 사실이라면, “시간의 절대적 방향이 존재한다Time has an objective direction“라고 생각할 수 있을까?

“time-reversal 하지 않다”는 말은 “역과정이 불가능하다”는 말이니까, “물리현상은 한쪽 방향으로만 일어난다”는 말이 되고, 이것은 곧 “시간이 한쪽 방향으로만 흐른다”는 말이 되면서 결국 “시간의 절대적 방향이 존재한다”는 결론을 도출하게 만든다.

저자 Arntzenious는 “시간의 방향성”에 대한 논증에 회의적인 입장을 보인다. 그러니까 저자는 “시간의 방향성”은 없다고 생각하는 것이다.

우리는 “time-reversal 하지 않다”면 뭔가 문제가 생긴다는 걸 알았다. 그래서 time-reversal을 보장하기 위해 문제가 되었던 velocity에 음수를 붙이는 연산에 대한 의문을 해결하고자 한다.

time-reversal 과정에서 velocity가 변한다는 입장을 지지하기 위해 다음과 같이 논증해보자.

1. velocity는 위치 변화의 역사에 의해 정의된다.
   Velocity is defined in terms of histories of position developments
2. 물체의 어떤 intrisic state도 time-reversal 과정에서 변하면 안 된다!
   No aspect of the intrinsic state of an object should change under a time reversal

그리고 2번을 뒷받침하기 위해, 물체가 space-time의 한 점에서 position이라는 성질 외에 local intrinsic quantities³를 가진다고 주장한다. 그리고 이 성질들은 어떤 값의 형태로 측정된다.

local intrinsic quantities가 gauge dependent하다고까지 나오는데, 저자는 이것을 “이 성질들에 대해 사람들마다 다른 공간 좌표계를 설정할 수 있다”는 뜻으로 설명한다. 물론 우리가 설정하는 이 좌표계와 space-time coordniate와는 무관하다. ⁴

그래서 결론적으로 time-reversal에 대한 두 가지 상황에서 모두 local intrinsic quantity는 전혀 변하지 않는다는 것이다.

하지만, velocity는 공간좌표계에 의존하기 때문에 local intrinsic quantity라고 볼 수 없다! 그리고 실제로 velocity는 공간좌표계에 따라 변한다. ⁵ velocity는 world line이라는 녀석에 tangent하게 정의하게 되는데, 이 world-line이 non-local space-time quantity(=neighborhood quantity)이기 때문이다.

그래서 time-reversal에 대한 두 가지 입장에게 velocity의 변화는 단지 “velocity가 world-line에 대해 어떻게 정의되었느냐”로 결정된다고 주장할 수 있게 되고, 이것이 곧 이 논증의 목표인 time-reversal 상황에서 velocity가 바뀔 수 있는 지에 대한 의문을 해소한다.

하지만!!
저자는 이때까지 한 local intrinsic에 대한 논의가 말도 안 된다고 주장한다…

이 주장에 따르면 “어떤 space-time transformation⁶에서도 local intrinsic 성질인 magnetic field vector가 변하면 안 된다”가 되는데, 이것은 뉴턴 때부터 쌓아올린 이론을 부정하게 된다.

게다가 이것은 “시간이 전자기학에서 절대적인 방향성”을 가진다고 주장하는 꼴이 되고, 나아가 “전자기학에서는 선호되는 ‘절대적인 정지좌표계’objective preferred rest-frame가 존재한다”고 주장하는 꼴이 된다.

요약:
time-reversal에 대한 설명은 성공했는데, 오히려 “시간의 방향성”을 인정하게 된 상황!

뭔가 혼란이 오는데, 내 생각엔 “local intrinsic property가 존재한다”는 거짓인 명제를 바탕으로 논증을 진행해서, “전자기학에선 시간이 절대적인 방향성을 가진다.”라는 말도 안 되는 결과가 나온 것 같다.

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결론

결국 우리의 문제를 해결하려면, 우리는 앞에서 했던 논증의 방식이 아니라 다른 방식을 채용해서 문제를 해결해야 한다.

그래서, 우리는 전자기장이 geometric object이고, 전자기장의 값은 우리가 쓰는 space-time coordinate에 의존하는 값이라고 주장하자. 그리고 전자기장의 값이 velocity 처럼 space-time transformation 상황에서 변하는 값이라고 주장해야 한다.

그리고 이런 geometric object에 대해 기술하는 Differential Goemetry라는 학문이 있다. 그러니까 이런 학문을 이용해 time-reversal transformation에서 전자기장의 값과 velocity를 변화를 기술할 수 있고, 나아가 intrinsic velocity도 허용할 수 있다.

결론적으로 time-reversibility로는 "impetus" theory를 부정할 수 없게 되었다!! (해피 엔딩)

이제 우리는 "impetus" theory에서 time-reversal에 대한 의문이 해소되었다. 다만, “우리가 intrinsic velocity라는 속성의 존재를 긍정할 수 있는지”와 “이 ‘속성이 위치 변화의 순간 기울기로 정의된다’는 법칙을 추가할 수 있을지”에 대한 의문점은 여전히 남아있다.

아무래도 "impetus" theory의 약점은 저 두가지가 전부일 것 같다 ㅋㅋ

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1. 뜬금없지만 이 사실이 전자기학이 ‘시간의 절대적 방향이 존재한다’고 주장하는 것은 아니다. 그러니까 전자기학의 time-reversible 성질과 ‘시간의 절대적 방향’과는 별개의 주제라는 것이다. p.s. 그리고 우리의 현재 관심사도 아니다! 뒤에 이어지는 주제에서는 다룬다. ↩

2. magnetic field가 velocity가 아니기에 전자기학에서의 time-reversal 성질을 바탕으로 뉴턴 역학에서의 time-reversal을 주장할 수 없다는 말이다. ↩

3. particle properties, field amplitudes, … ↩

4. 이 말은 우리가 부여한 공간 좌표계가 오직 local intrinsic quantities에 대한 좌표계라는 말이다. space-time과 전혀 상관없이 말이다! ↩

5. 상대속도 개념을 생각해보면, 우리가 어떤 관성 좌표계를 잡느냐에 따라 우리가 보는 물체의 속도는 변한다. ↩

6. 저자는 velocity boost를 예로 드는데, 솔직히 이게 뭔지 모르겠다. 찾아보니 뭔가 Lorentz transformation과 관련이 있는 것 같기도? time-reversal도 대표적인 space-time transformation이다. ↩