Background for discussion of ‘Special Relativity’

본 글은 2020-1학기 포항공대 이충형 교수님의 ‘시공간과 물질의 철학’ 수업의 읽기자료의 내용을 정리한 것입니다. 물리학도는 아니지만 수업의 본질에 다가가고자 이렇게 문서형태로 정리해둡니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

주의!:
이번 글은 제가 이해한 바를 정리하려고 쓴 글이라 저만의 단어와 생각으로 기술했습니다. 그래서 다른 분들이 볼 때는 이해가 어려울 수도 있습니다 ㅜㅠ

---

수업에서 다루는 특수 상대성이론special relativity을 잘 이해할 때, 약간의 배경지식이 있다면 특수 상대성 이론에 깔린 철학을 더 잘 이해할 수 있을 것이라고 생각했다. 그래서 몇 가지 배경지식들을 정리해봤다.

이것만은 숙지해야 한다!:

• 민코프스키 시공간Minkowski Space-time
• 세계점world-point과 세계선world-line
• 동시선Line of Simultaniety
• 갈릴레이 변환Galilean Transformation과 갈릴레이 상대성Galilean Relativity
• 로렌츠 변환Lorentz Transformation

이것도 결국은 알아야 할 거다!:

• Minkowski Metric
• 로렌츠 좌표계Lorentz Coordinate

---

민코프스키 시공간 Minkowski Space-time

민코프스키 시공간을 이해하려면, 두 가지가 필요하다.

1. 민코프스키 시공간을 그리는 방법
2. 민코프스키 시공간에서 빛과 물체의 운동을 어떻게 기술하는지(=규칙)

1번에 대해서는 그냥 ‘아, 민코프스키 시공간은 이렇게 그리는 구나’에 대한 감만 익히면 된다.
시간축time-axis을 세로축으로 놓고, 공간축space-axis을 가로축으로 둔다. → 끝!

시간이 과거에서 미래로 흘러가듯 민코프스키 시공간에서는 시간축의 방향인 위쪽으로 사건event이 발생하게 된다.
(=시공간을 그려놓은 걸 아래를 과거, 위를 미래로 이해하라는 말)

이제 1번은 해결했다!
(응?)

그럼 2번에 대해서 살펴봐야 하는데, 그냥 특정 상황을 가정하고 이해해보려고 하면, 이해가 될 것이다 ㅎㅎ

---

상황: 우주선의 양쪽 끝에서 빛을 쏨.

결과: 우주선의 중간지점인 $M$에서 빛이 동시에 인식됨.

point!: 민코프스키 시공간에서 빛light은 45도 각도의 세계선을 그린다.
⇒ 빛의 세계선world-line of light or world-line of photon

세계점world-point: 특정 시간, 특정 위치에 물체가 존재하는 한 지점
세계선world-line: 물체가 민코프스키 공간에서 움직이는 궤적 자체를 의미

---

상황: $v$ 속도로 철수에게서 멀어지는 우주선의 양쪽 끝에서 빛을 쏨.

결과: 철수는 양끝에서 쏜 빛이 민수에게 동시에 도달하지 않는다고 주장!
(그런데 민수는 동시에 도달한다고 주장!) ⇒ 동시성이 깨짐!

---

상황: $v$ 속도로 철수에게서 멀어지는 우주선의 가운데서 양끝으로 빛을 쏨.
우주선 양끝에는 거울이 달려있음.

결과: 철수는 빛이 우주선의 양끝에 도달하는 시점이 다르다고 주장! 그리고 $M$으로 돌아올 때는 동시에 도달!
⇒ 동시성이 깨졌다가 다시 맞게 되는 상황

이때 민수는 빛이 양끝에도 동시에 도달하고, $M$으로 돌아올 때도 동시에 돌아온다고 생각함.
⇒ 민수의 동시선Line of Simultaniety과 철수의 동시선이 어긋나게 되는 때가 생긴다는 말!

일단 이정도로 민코프스키 시공간에 대해 이해하고, 이번에는 상대성 이론 이전인 고전 역학으로 시선을 돌려보자.

---

갈릴레이 상대성 Galilean Relativity

먼저 갈릴레이 변환Galilean Transformation이라는 상황을 이해해야 한다.

등속 운동하는 관찰하는 정지한 관찰자처럼 자기가 등속 운동한다는 사실을 알 방법이 전혀 없다!!

그래서 등속 운동하는 관찰자가 외부에 대해 할 수 있는 가장 합리적인 해석은 내가 움직이는게 아니라 외부가 움직이는 것이다!이다.

그래서 등속 운동하는 관찰자는 시간 $t$에 따른 외부 물체의 움직임을 기술하기 위해 $t=t_0$의 위치 값에 대해 갈릴레이 변환을 적용하는 것이다!

우리는 등속 운동이나 정지 상태를 묶어서 관성 운동한다고 말한다.

그래서 고전 역학에서는 관성 운동할 때, 나 자신 외의 다른 물체의 운동은 모두 갈릴레이 변환을 적용해 각 시간에서의 위치 값을 얻어서 사용한다.

그리고 갈릴레이 변환은 갈릴레이 상대성이라는 법칙을 전제로 한다.

모든 관성계에서 물리법칙은 동일하게 서술된다.1

그리고 이것은 동시에 다음을 의미한다.

절대적인 좌표계는 존재하지 않는다. (우리는 물체의 절대속도absolute velocity를 측정할 수 없다.)

이것은 우리가 관성 운동 할때, 우리가 속한 계가 정지해있는지, 등속 운동하는지 알 방법이 없다는 것이다. (만일 우리가 속한 계 내부에서 절대속도를 측정할 수 있다면, 우리는 정지 or 등속도 여부를 바로 알 수 있다!)

갈릴레이 상대성은 물리학의 패러다임 중 하나이다.
그리고 우리는 이 패러다임 아래에서는

1. 관성 운동하는 우리는 모두 동일한 물리법칙을 도출하고, 또는 적용한다.
2. 절대적인 좌표계를 상정할 수 없다.
3. 우리는 절대 속도를 측정할 수 없다.

이 패러다임이 1800년대 중반까지는 잘 들어맞았다! 그러다가 맥스웰이 전기-자기를 통합한 맥스웰 방정식Maxwell’s Equation을 발표하면서, 갈릴레이 상대성 패러다임이 흔들리게 된다!!!

로렌츠 변환: 갈릴레이 변환의 수정본

맥스웰 방정식을 통해 우리는 빛이 어떻게 행동²하는지 거의 대부분 밝혀냈다.

자! 이제 등속 운동하는 계에서 맥스웰 방정식을 적용하는 상황을 생각해보자.

그러면, 갈릴레이 상대성에 의해 등속 운동하는 계에서도 맥스웰 방정식은 일관되어야 한다.

하지만, 결과를 살펴보니 정지 상태일 때의 맥스웰 방정식과 등속 운동할 때의 맥스웰 방정식이 유독 빛에 관한 부분에서 어긋나게 되는 것을 알게 된다.³

그럼 두가지 경우 중 하나인데,

1. 맥스웰 방정식에 오류가 있다.
2. 갈릴레이 상대성이 틀렸다. = 갈릴레이 변환이 틀렸다.

1번 경우에 대해선, 맥스웰 방정식이 여러 실험 결과를 정확히 예측하고 잘 들어맞는다는 것이 확인이 되었다. 그럼 2번의 경우, “갈릴레이 변환에서 문제가 있다”는 결론을 얻게 된다!!

그러다가 아주아주 똑똑한 로렌츠Lorentz라는 사람이

내가 한번 해봤는데, 갈릴레이 변환을 약간 수정하면 문제가 해결됨 ㅇㅇ

라고 주장하며, 기존의 갈릴레이 변환을 수정한 로렌츠 변환Lorentz Transformation을 들고 온다.

로렌츠 변환은 모든 관성계에서 광속 $c$가 동일한 값을 가짐을 전제 조건으로 설정한다.(중요)

이 말은 곧, 빛은 광속 $c$라는 절대속도를 가지며, 빛에 대해서는 상대속도 개념이 통하지 않는다는 것을 의미한다!!

즉 ,갈릴레이 변환이 부정하는 절대속도 개념을 빛이라는 특수한 경우에 대해서만 절대속도를 긍정함으로써 관성계에서 발생하는 문제를 해결한 것이다!!

나아가 속도 $v$가 광속 $c$보다 현저히 느리다면, 우리가 평소에 쓰는 갈릴레이 변환과 동일한 결과를 도출하도록 설계하였다!!

그래서 로렌츠 변환은

주목할 점은 갈릴레이 변환 때랑은 다르게 시간 $t’$의 값이 변한다는 것이다!! $t \neq t’$
그러니까 정지상태의 계가 인지하는 시간 $t$와 운동상태의 계가 인지하는 시간 $t’$가 다르게 되어버린 것이다! 게다가 이 변형된 시간 $t’$는 위치 $x$ 값의 영향도 받는다!

로렌츠 변환에서 도입된 상수Lorentz factor인 $\gamma$는 $v/c$가 1에 근접해져서, 그러니까 속도 $v$가 광속에 가까워져야 비로소 상수로써의 제 몫을 하게 된다.

만약 속도 $v$가 광속에 비해 무시할 정도로 작다면, 로렌츠 변환은 갈릴레이 변환과 동일한 결과를 도출한다.

⁴

로렌츠 변환을 행렬곱으로 표현하기도 하는데 원래 엥간한 변환은 좌표에 ‘변환’이라는 이름의 행렬을 곱해주는 거라 그냥 그러려니 하고 넘어가면 된다 ㅎㅎ

이제 갈릴레이 변환으로 정의한 물리학의 패러다임을 수정할 때가 왔다!!

모든 관성계에서 물리법칙은 (갈릴레이 변환 아래에서) 동일하게 서술된다.

이 패러다임을

모든 관성계에서 물리법칙은 (로렌츠 변환 아래에서) 동일하게 서술된다.

으로 바꿔주면 된다 ㅎㅎ

결국 기존의 갈릴레이 변환은 속도 $v$가 광속 $c$에 비해 미약할 때 사용하는, 로렌츠 변환의 근사식이라고 생각하면 될 것 같다.

---

맺음말

자…!! 이제(?) 특수 상대성이론 아래에서 발생하는 논의들을 시작할 준비가 되었다!! (논의까지 해?)

민코프스키 시공간이나 로렌츠 변환에 대해서는 관련된 내용이 아직 조금 더 있지만(ㅎㅎ), 내가 힘드니 이 정도에서 그만해야 할 것 같다.⁵

고등학교 때 특수상대성 파트 배울 때 이렇게 배경을 다 알고 배웠다면 지금 이렇게 고생을 안 할텐데… ㅎㅎ

---

참고자료

1. https://youtu.be/24zYM0Kr4G4 → 민코프스키 공간을 이해하는 데에 아주 도움이 많이 되었다!
2. https://sillurian.tistory.com/11 → 갈렐레이 변환에서부터 아주 잘 설명이 되어 있다!!
   

---

1. 우리가 어떤 관성계를 잡더라도 물리법칙은 일관된 형태이다. ↩

2. 예를 들면 전자기파, 적외선, 자외선 등 이런 빛이 가지는 회절, 굴절 등의 성질 ↩

3. 이게 왜 문제냐면, 등속 운동과 정지 상태를 비교했을 때 어긋나는 부분이 발견되면 우리는 그 부분을 기준으로 삼아 절대 속도를 측정할 수 있게 된다. ↩

4. 시간 $t$에 광속 $c$를 곱해준 이유는 위치 값인 $x$, $y$, $z$과의 단위를 맞춰주기 위해서이다. $sec \times m/sec = m$ ↩

5. 아직 뮤온muon으로 로렌츠 변환을 검증하는 단계가 남았다 ㅎㅎ ↩