Converse of Lagrange Thm
2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)
(Review) Lagrange Thm
For a group $G$, and subgroup $H \le G$, $\lvert H \rvert \mid \lvert G \rvert$
Lagrange 정리는 Group $G$와 subgroup $H$ 사이의 관계를 기술한 정리이다.
하지만, 일반적으로 Lagrange 정리의 역은 성립하지 않는다. 이번 포스트에선 Lagrange 정리의 역에 대한 반례인 $A_4$에 대해 다룬다.
Converse of Lagrange Thm
Lagrange 정리의 역은 다음과 같다.
Group $G$에 대해, $\lvert G \rvert$의 약수를 order로 갖는 subgroup이 항상 존재한다.
그러나 Lagrange 정리의 역은 거짓이다! 그 반례를 살펴보자.
$A_4$ has no subgroup of order 6
$A_4$의 order는 $\frac{24}{2}=12$이다. 하지만, $A_4$는 order 6인 subgroup을 가지지 않는다!
(pf) proof by contradiction
Supp. $A_4$ has a subgroup $H$ of order 6.
We will draw a contradiction.
subgroup $H$의 index를 살펴보자.
\[\left[ A_4 : H \right]= \left\lvert \frac{A_4}{H} \right\rvert = \frac{12}{6} = 2\]즉, $H$의 index가 2이므로 $H$는 $A_4$의 Normal subgroup이다1; $H \triangleleft A_4$
THEN, $A_4 = H {\cup\mkern-13mu\cdot\mkern5mu} \sigma H$이고, $\dfrac{A_4}{H} = \{e, a \} = \{ H, \sigma H\}$ for all $\sigma \ne H$
이때, factor group $\frac{A_4}{H}$의 order가 2이므로 $a^2=e$가 되어야 한다.
그러면, $(\sigma H)^2=\sigma^2 H = H$이므로 $\sigma^2 \in H$가 된다. (by 연산의 닫힘성)
즉, $\forall \sigma \notin H$, $\sigma^2 \in H$가 된다.
이때, $\forall \sigma \in H$에 대해서도 $\sigma^2 \in H$가 되므로, 종합하면
\[\forall \sigma \in A_4, \: \sigma^2 \in H\]$\sigma \in A_4$인 $\sigma$는 세 가지 형태를 가진다.
- $\sigma=(1) \implies \sigma^2 = (1) \in H$
- $\sigma = (i \; j)(x \; y) \implies \sigma^2 = (1) \in H$
- $\sigma = (i \; j \; k) \implies \sigma^2 = (i \; k \; j) \in H$
따라서 모든 3-cycle이 $H$에 속하게 된다. (+ identity인 $(1)$도 포함)
# of 3-cycle = $\binom{4}{3} \times 2 = 8$3
여기에 identity인 $(1)$까지 포함하면, $\lvert H \rvert = 8+1 = 9$
이것은 $\lvert H \rvert = 6$이라는 가정에 모순된다!
따라서 $A_4$에서 $\lvert H \rvert = 6$인 subgroup은 존재하지 않는다.