Formulas for residue

2020-2학기, 대학에서 ‘응용복소함수론’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

---

이전까지는 residue를 구하기 위해 함수 $f(z)$의 로랑 급수를 구해 $b_1$을 구하는 방법을 사용했다.

그런데 만약 $f(z)$가 nice한 조건을 가지고 있음이 확인된다면, 로랑 급수를 구하지 않고도 손쉽게 residue를 구할 수 있다!!

---

review. Cauchy’s residue theorem

\[\oint_{C} {f(z) dz} = 2{\pi}i \left(\sum^{n}_{k=1} \underset{z=z_k}{\textrm{Res}} f(z) \right)\]

review.
Let $p(z)$ and $q(z)$ be analytic functions. Supp. that $q(z)$ has a zero of $m$-th order at $z=z_0$ and $p(z_0) \ne 0$.

THEN

\[f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}\]

has a pole at $z=z_0$ of order $m$

---

Formulas for residues

simple poles at $z_0$

Consider

\[f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}\]

where $p(z)$ and $q(z)$ are analytic functions. Supp. that $q(z)$ has a simple zero at $z=z_0$ and $p(z_0) \ne 0$.

THEN

\[\underset{z=z_0}{\textrm{Res}} {f(z)} = \lim_{z \rightarrow z_0} {(z-z_0)} \cdot f(z) = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)}\]

proof.
We can express $f(z)$ as follows

\[f(z) = \frac{b_1}{(z-z_0)} + a_1 + a_2 (z-z_0) + \cdots\]

THEN

\[(z-z_0)f(z) = b_1 + a_1(z-z_0) + a_2 (z-z_0)^2 + \cdots\]

THEN, take limit for that

\[\lim_{z \rightarrow z_0} {(z-z_0)f(z)} = b_1\]

따라서 $\lim_{z \rightarrow z_0} {(z-z_0)f(z)}$를 통해 residue를 손쉽게 구할 수 있다!!

그 다음 공식은 $\lim_{z \rightarrow z_0} {(z-z_0)f(z)}$에 약간의 trick을 써서 구할 수 있다.

\[\begin{aligned} \lim_{z \rightarrow z_0} {(z-z_0)f(z)} &= \\ \lim_{z \rightarrow z_0} {(z-z_0) \frac{p(z)}{q(z)}} &= \lim_{z \rightarrow z_0} {\frac{p(z)}{\frac{q(z) - q(z_0)}{z-z_0}}} \\ &= \frac{p(z_0)}{q'(z_0)} \end{aligned}\]

poles of order $m$

\[\underset{z=z_0}{\textrm{Res}} {f(z)} = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \rightarrow z_0} {\left(\frac{d}{dz}\right)^{(m-1)}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]}\]

proof.

\[\begin{aligned} f(z) &= \frac{b_m}{(z-z_0)^m} + \cdots + \frac{b_1}{(z-z_0)} + a_0 + a_1 (z-z_0) + \cdots \\ (z-z_0)^m f(z) &= b_m + \cdots + b_1(z-z_0) ^m + a_0 (z-z_0)^m + \cdots \end{aligned}\]

$(z-z_0)^m f(z)$에서 $b_1$을 얻기 위해선 $(m-1)$번 미분해야 한다.

\[\begin{aligned} {\left(\frac{d}{dz}\right)^{(m-1)}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]} &= \frac{b_1}{(m-1)!} + \frac{a_0}{(m-1)!}(z-z_0) + \cdots \\ \lim_{z \rightarrow z_0}{\left(\frac{d}{dz}\right)^{(m-1)}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]} &= \frac{b_1}{(m-1)!} \end{aligned}\]

따라서 order $m$에 대한 $b_1 = \underset{z=z_0}{\textrm{Res}} {f(z)}$는 위와 같은 식으로 구할 수 있다!

---

Example.

\[f(z) = \frac{9z+i}{z^3+z}\]

Find residues of $f(z)$.

Sol.
$q(z) = z^3+z = z(z^2+1)$

따라서 $f(z)$의 pole은

\[z=0, \; +i, \; -i\]

이고, 모두 simple pole이다.

(i) residue for $z=0$

\[\begin{aligned} zf(z) &= z \cdot \frac{9z+i}{z(z^2+1)} = \frac{9z+i}{z^2+1} \\ \lim_{z \rightarrow 0} zf(z) &= \frac{i}{1} = i \end{aligned}\]

따라서 $\underset{z=0}{\textrm{Res}} f(z) = i$.

(ii), (iii) residue for $z=+i, \; -i$는 생-략