Formulas for residue

2020-2학기, 대학에서 ‘응용복소함수론’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

이전까지는 residue를 구하기 위해 함수 $f(z)$의 로랑 급수를 구해 $b_1$을 구하는 방법을 사용했다.

그런데 만약 $f(z)$가 nice한 조건을 가지고 있음이 확인된다면, 로랑 급수를 구하지 않고도 손쉽게 residue를 구할 수 있다!!

review. Cauchy’s residue theorem

review.
Let $p(z)$ and $q(z)$ be analytic functions. Supp. that $q(z)$ has a zero of $m$-th order at $z=z_0$ and $p(z_0)\ne 0$.

THEN

has a pole at $z=z_0$ of order $m$

Formulas for residuesPermalink

simple poles at $z_0$Permalink

Consider

where $p(z)$ and $q(z)$ are analytic functions. Supp. that $q(z)$ has a simple zero at $z=z_0$ and $p(z_0)\ne 0$.

THEN

proof.
We can express $f(z)$ as follows

THEN

THEN, take limit for that

따라서 $\underset{z\to z_0}{lim}(z-z_0)f(z)$를 통해 residue를 손쉽게 구할 수 있다!!

그 다음 공식은 $\underset{z\to z_0}{lim}(z-z_0)f(z)$에 약간의 trick을 써서 구할 수 있다.

poles of order $m$Permalink

proof.

$(z-z_0{)}^{m}f(z)$에서 $b_1$을 얻기 위해선 $(m-1)$번 미분해야 한다.

따라서 order $m$에 대한 $b_1=\underset{z=z_0}{\text{Res}}f(z)$는 위와 같은 식으로 구할 수 있다!

Example.

Find residues of $f(z)$.

Sol.
$q(z)=z^3+z=z(z^2+1)$

따라서 $f(z)$의 pole은

이고, 모두 simple pole이다.

(i) residue for $z=0$

따라서 $\underset{z=0}{\text{Res}}f(z)=i$.

(ii), (iii) residue for $z=+i,-i$는 생-략