Ring - 2

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

우리가 Group을 분류했듯이 Ring을 분류해보자!

Keyword.

• Unity & unit
• division ring
• field & skew field
• Quaternion
• zero-divisor
• Integral Domain; 정역

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Definition. Zero ring

\[\{ 0 \}\]

원소가 하나 뿐인 Ring.

Definition. Unity & unit

Let $R$ is a ring, THEN

• Unity: a multiplicative identity.
• unit: 곱에 대한 역원이 존재하는 원소

Example.

• $\mathbb{Z}$에서 Unitiy: $1$
• $\mathbb{Z}$에서 unit: $\{1, -1\}$

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Theorem.

If the multiplicative identity exist, it is unique.

proof.

“additive identity의 유일성” 증명과 비슷한 맥락으로 하면 됨.

Example.

$\mathbb{Z}_{rs} \cong \mathbb{Z}_r \times \mathbb{Z}_s$ is ring, IF $(r, s) = 1$.

HW.

\[\begin{aligned} \phi : \mathbb{Z}_{rs} &\longrightarrow \mathbb{Z}_r \times \mathbb{Z}_s \\ n &\longmapsto n(1, 1) \end{aligned}\]

THEN $\phi$ is a ring isomorphism.

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Division Ring

Definition. division ring

Let $R$ be a ring with unity,

$R$ is a division ring, IF every non-zero element has a mutliplicative inverse.

즉, $R\setminus\{0\}$ is a group w.r.t. multiplication.

Field & skew-field

Definition. field & skew field

Division Ring이 곱에 대해 가환인지 여부에 따라

• Commutative division ring
  • Field
  • 곱셈에 대해 군을 이루면서, 그것이 가환군
• non-Commutative division ring
  • skew Field
  • 곱셈에 대해 군을 이루지만, 가환이 아님

Example. $2\mathbb{Z}$

$2\mathbb{Z}$ is a commutative ring without unity.

왜냐하면, $1\notin 2\mathbb{Z}$라서

Example. $\mathbb{Q}$

$\mathbb{Q}$ is a division ring, also commutative ring.

따라서 $\mathbb{Q}$는 Field다!!

마찬가지로 $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$도 Field임!

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Quternion

Example. quaternion set

The set of quaternions is a skew field.

Definition. Quaternion $Q$

\[Q = \{w + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \mid \mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k} = -1\}\]

• 덧셈은 component-wise addition으로 정의

• 곱셈은 quaterion units $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$에 대한 규칙에 따라 시행

• 곱셈에 대한 역원: $\dfrac{w - x\mathbf{i} - y\mathbf{j} - z\mathbf{k}}{w^2 + x^2 + y^2 + z^2}$
• 곱셈에 대한 항등원: $1 = (1, 0, 0 ,0)$
• $q\cdot\bar{q} = w^2 + x^2 + y^2 + z^2$

“Quaternion은 3차원 회전에서 사용한다!”

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zero-divisor

Definition. zero-divisor

Let $R$ is a ring, for $a, b \in R$,

IF $ab=0$, THEN $a$ and $b$ is called a zero-divisor.

Example.

In $\mathbb{Z}_{12}$,

\[3 \cdot 4 \equiv 12 \equiv 0\]

따라서 $3$, $4$는 $\mathbb{Z}_{12}$에서 zero-divisor임.

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Theorem.

In $\mathbb{Z}_n$, the zero-divisors are precisely the elements which are not relatively prime to $n$.

proof.

Let non-zero $m \in \mathbb{Z}_n$ and $d:=(m, n) \ne 1$; 공약수가 1이 아닌, 즉 $n$과 서로소가 아닌 $m$을 선택한다.

THEN,

\[m\left(\frac{n}{d}\right) = \left(\frac{m}{d}\right)n \equiv 0\]

즉, $m$과 $\frac{n}{d}$가 zero-divisor다. $\blacksquare$

Corollary.

IF $p$ is a prime, THEN $\mathbb{Z}_p$ has no zero-divisor.

proof.

$\mathbb{Z}_p$의 원소는 모두 $p$와 서로소이므로, zero-divisor가 존재하지 않는다.

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Theorem.

IF $p$ is a prime, THEN $\mathbb{Z}_p$ is a field.

즉, 모든 non-zero element가 multiplicative inverse를 가진다는 말!!

proof.

Let non-zero $a\in\mathbb{Z}_p$, then $1 \le a \le p-1$.

Since $p$ is a prime, $(a, p) = 1$,

Bézout's Identity에 의해, $ax + pq = 1$이 되도록 하는 $x, y$가 존재한다.

위의 식에서 module $p$를 취하면,

\[\begin{aligned} ax + pq &= 1 \\ (ax + pq) \; (\textrm{mod } p) &\equiv 1 \\ ax \; (\textrm{mod } p) &\equiv 1 \\ \end{aligned}\]

이때, $x$가 바로 $a$의 multiplicative inverse다!

$\mathbb{Z}_p$의 모든 원소에 대해 multiplicative inverse가 항상 존재하므로, $\mathbb{Z}_p$는 division ring이다.

$\mathbb{Z}_p$는 commutative ring이기도 하므로, $\mathbb{Z}_p$는 field이다. $\blacksquare$

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Integral Domain

Definition. Integral Domain; 정역

An Integral Domain is a commutative ring with Unitiy, and without zero-divisors.

Example.

\[\mathbb{Z}, \quad \mathbb{Z}_p\]

Homework.

$\mathbb{Z}_n$ is an integral domain, IFF $n$ is prime.

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Theorem. Bezout’s Identity

For $n, m \in \mathbb{Z}$,

1. if $(n, m) = 1$, then $\exists x, y \in \mathbb{Z}$ s.t. $nx + my = 1$.

2. if $(n, m) = d$, then $\exists x, y \in \mathbb{Z}$ s.t. $nx + my = d$.

proof.

2번 명제만 증명해보자.

$(n, m) = d$인 $n$, $m$를 gcd인 $d$로 나누어 보자. 그러면

$\left( \frac{n}{d}, \frac{m}{d} \right) = 1$이 된다.

따라서 1번 명제에 의해 Bezout’s Identity가 존재한다.

\[\frac{n}{d} x + \frac{m}{d} y = 1\]

양변에 $d$를 곱하면

\[nx + my = d\]

인 식을 얻는다. $\blacksquare$

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Definition. Characteristics of Ring; 환의 표수

If there exist $n \in \mathbb{N}$ s.t. $na \equiv 0$ ($a \in R$),

then call the smallest $n$ as a “Characteristic of a Ring”.

※ If there is no such $n$, then we say Char- of a Ring = 0.

Example.

Char- of $\mathbb{Z}_{10}$ = 10;

($\textrm{Char}(\mathbb{Z}_{10}) = 10$)

Char- of $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ = 0

Theorem.

Let $R$ be a ring with unity 1,

then $n \cdot 1 = 0 \iff n \cdot a = 0 \quad \forall \; a \in R$.

proof.

($\impliedby$) Clear

($\implies$) Supp. $n\cdot1 = 0$

Let $a \in R$,

\[\begin{aligned} n \cdot a &= n \cdot (1 \cdot a) \\ &= (n \cdot 1) \cdot a \\ &= 0 \cdot a \\ &= 0 \end{aligned}\]