Field & Integral Domain

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

Keyword.

• Integral Domain; 정역
• a field is an integral domain

---

Corollary.

IF $p$ is prime, THEN $\mathbb{Z}_p$ has no zero-divisor.

$\mathbb{Z}_n$의 zero-divisor는 $(n, m) \ne 1$이어야 존재하기 때문!

Theorem.

The cancellation law holds in a ring $R$, IFF $R$ has no zero-divisor.

proof.

($\implies$)

Supp. the cancellation law holds, and supp. $ab=0$ for some $a, b \in R$.

To show $a=0$ or $b=0$; (왜냐하면, zero-divisor는 $a\ne0$ and $b\ne0$이면서 $ab=0$이기 때문!)

w.o.l.g. supp. $a\ne0$, THEN

\[\begin{aligned} ab &= 0 \\ ab &= 0 = a \cdot 0 \\ ab &= a \cdot 0 \end{aligned}\]

$ab = a \cdot 0$에서 cancellation law를 적용하면, $b=0$라는 결과를 얻을 수 있다.

반대로 $b\ne0$를 가정하면, $a=0$라는 결과를 얻을 수 있다.

따라서 $ab=0$이라면, $a=0$ or $b=0$이므로, zero-divisor가 존재하지 않는다. $\blacksquare$

($\impliedby$)

Supp. $R$ has no zero-divisors, and supp. $xy=xz$ , $x\ne0$ for some $x, y, z \in R$

\[\begin{aligned} xy &= xz \\ xy - xz &= 0 \\ x(y-z) &= 0 \end{aligned}\]

이때 $R$은 zero-divisor를 가지지 않으므로, $y-z=0$이다. 따라서 $y=z$이다.

이에 따라 non-zero$x$에 대해 $xy=xz$라면, $y=z$라는 결과를 얻을 수 있고, 이것은 cancellation law를 의미한다. $\blacksquare$

---

review. Integral Domain; 정역

An Integral Domain is a commutative ring with Unitiy, and without zero-divisors.

Note.

Integral domain에는 적어도 2개의 원소는 있어야 한다.

(왜냐하면, 덧셈의 항등원 $0$과 곱셈의 항등원 $1$은 같을 수가 없기 때문!)

앞으로 표기의 편의를 위해 “Integral domain”을 모두 “domain”으로 간략히 표기하겠다.

Example.

Let $R$, $S$ be rings, $R \times S$ is not a domain, IF $R\ne\{0\}$ and $S\ne\{0\}$; 둘다 zero ring이 아니라면, $R\times S$는 domain이 될 수 없다.

proof.

$R$와 $S$ 둘다 zero ring이 아니므로, $R$, $S$에서 각각 non-zero 원소를 뽑을 수 있다.

$r\ne\in R$, $s\ne\in S$

$\implies$ $(r, 0)(0, s) = (0, 0)$

즉, $(r, 0)$, $(s, 0)$이 zero-divisor가 되므로, domain이 될 수 없다.

---

review. field & skew field

Division Ring이 곱에 대해 가환인지 여부에 따라

• Commutative division ring
  • Field
  • 곱셈에 대해 군을 이루면서, 그것이 가환군
• non-Commutative division ring
  • skew Field
  • 곱셈에 대해 군을 이루지만, 가환이 아님

Claim.

A field is an integral domain s.t. every non-zero elts has the multiplicative inverse in it.

Field $\implies$ Integral Domain

Theorem.

Every field is an integral domain.

proof.

Field $F$에 zero-divisor가 없음을 보이면 된다.

Supp. $a\ne0$, $ab=0$ for some $a, b \in F$

Field이므로 non-zero 원소는 곱에 대한 역원이 항상 존재한다.

\[\begin{aligned} ab &= 0 \\ a^{-1}(ab) &= 0 \\ 1 \cdot b &= 0 \\ b &= 0 \end{aligned}\]

따라서 $b=0$이다.

마찬가지로 $b\ne0$라면, $a=0$이다.

따라서 $ab=0$에 대해 $a=0$ 또는 $b=0$이므로 Field $F$에는 zero-divisor가 존재하지 않는다. $\blacksquare$

---

Finite Integral Domain $\implies$ Field

Theorem.

Every finite integral domain is a field.

proof.

Let $D$ be a finite domain.

Say $D = \{0, d_1, d_2, \cdots, d_n\} \quad (d_i \ne 0)$.

We will show each $d_i$ has a multiplicative inverse.

Define $D^{*} = D \setminus \{0\}$

THEN,

\[d_i D^{*} = \{d_i d \mid d \in D^{*}\}\]

Think of a size of $\lvert d_i D^{*} \rvert$.

To show $\lvert d_i D^{*} \rvert = \lvert D^{*} \rvert$, we will show

\[d_i d_j = d_i d_k \iff d_j = d_k\]

바로 위의 명제가 말하는 바는, $d_j$와 $d_k$가 다르다면, $d_i$와의 곱은 항상 다르다는 것이다!

이 명제를 증명하자.

\[\begin{aligned} d_i d_j - d_i d_k &= 0 \\ d_i (d_j - d_k) &= 0 \\ d_j - d_k &= 0 \\ d_j &= d_k \end{aligned}\]

위의 과정에서 Integral domain의 경우, zero-divisor가 없다는 사실을 사용했다.

위의 명제에 따라 $dD^{*}$의 모든 원소는 서로 다름이 보장된다.

따라서 $\lvert d_i D^{*} \rvert = \lvert D^{*} \rvert = n$이다!

이때, $d_i D^{*} \subseteq D^{*}$이다.

그런데, 부분집합의 크기가 원래 집합의 크기와 같기 때문에 $d_i D^{*} = D^{*}$이 성립한다.

이때 $1 \in D^{*}$이므로 $1 \in d_i D^{*}$이다.

이에 따라 $1 = d_i d_j$ for some $d_j \in D^{*}$이다.

즉, $d_j$가 $d_i$의 multiplicative inverse이다!

마찬가지로 나머지 non-zero $d_i \in D$에 대해 동일하게 시행하면, 모든 $d_i$가 multiplicative inverse를 가짐을 알 수 있다.

$D$의 모든 원소가 multiplicative inverse를 가지므로, $D$는 field다. $\blacksquare$

---

Corollary.

$\mathbb{Z}_n$ is a field, IF $n$ is a prime.

앞에서는 $n=p$ 소수일 때, $\mathbb{Z}_n$이 Integral domain이 됨을 보였다.

즉, 우리가 앞에서 모든 Finite integral domain은 field가 됨을 보였으니 앞에서 보인 명제와 결합해 위의 명제를 얻을 수 있다.