Quotient Field

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

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Motivation.

정수 $\mathbb{Z}$와 유리수 $\mathbb{Q}$에 대해 생각해보자.

정수 $\mathbb{Z}$는 zero-divisor가 없으므로 Integral Domain이다. 물론 정수 $\mathbb{Z}$는 Ring이기도 하다.

유리수 $\mathbb{Q}$는 Integral Domain과 Ring보다 상위 단계인 Field다.

우리는 다른 평범한 Ring-Field 사이와는 달리 정수 $\mathbb{Z}$와 유리수 $\mathbb{Q}$ 사이에 어떤 좋은 관계가 있음을 보여주고 싶다!

앞으로 소개할 방법을 사용하면, Integral Domain인 $\mathbb{Z}$가 Field인 $\mathbb{Q}$에 포함되어 있음을 보일 수 있다! 한번 살펴보자 ㅎㅎ

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우리가 사용하는 방법을 일반적인 형태로 기술하면 아래와 같다.

Integral Domain $D$를 Quotient Field $F$로 확장

4가지 단계를 통해 Integral Domain $D$를 Quotient Field $F$로 확장할 수 있다 ㅎㅎ

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1. Define element of $F$

For given domain $D$, think of Cartesian Product of it.

\[D \times D = \{(a, b) \mid a, b \in D\}\]

우리는 $D \times D$의 원소인 순서쌍 $(a, b)$를 formal quotient $a/b$라고 생각할 것이다.

하지만, $D \times D$를 $F$라고 보기에는 아직 충분치 않다. 그래서 아래와 같은 Equivalent Relation을 정의하자.

Definition.

$$ (a, b) \sim (c, d) \iff ad = bc $$

$\sim$가 Equiv Relation임을 증명하는 것은 생략하겠다.

Equiv Relation $\sim$에 의해 유도되는 Equiv Class $[(a, b)]$를 생각해보자. 나중에 이것이 바로 우리가 유도할 $F$의 원소가 된다!

아직 $F$를 완전히 유도한 것은 아니다.

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2. Define addition & multiplication on $F$

Equiv class $[(a, b)]$에 대해 연산을 아래와 같이 정의하자.

\[\begin{aligned} + &: [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad+bc, bd)] \\ \cdot &: [(a, b)] \,\cdot\, [(c, d)] = [(ac, bd)] \end{aligned}\]

이제 위에서 정의한 두 연산이 Well-defined되어 있음을 보여야 한다.

proof..

Supp. $[(a, b)] = [(a’, b’)]$, and $[(c, d)] = [(c’, d’)]$

Check $[(ad+bc, bd)] = [(a’d’+b’c’, b’d’)]$, and $[(ac, bd)] = [(a’c’, b’d’)]$.

자세한 증명은 생략한다.

이를 통해 $F$에서 사용할 연산 $+$와 $\cdot$ 를 정의하였다.

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3. Check $(F, +, \cdot)$ is a field

과정 1, 2에서 사용한 것들을 바탕으로 Field $(F, +, \cdot\;)$를 정의한다.

$(F, +, \cdot)$가 Field임을 확인하기 위해 아래의 3가지 사실을 확인해야 한다.

1. $(F, +)$ is a abelian group
2. $(F, \cdot)$ is a abelian group
3. Ring Distributive Law

위의 3가지 사실을 확인하는 과정은 생략한다.

자! 이제 우리는 Field $(F, +, \cdot)$를 얻게 되었다!

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Show relationship btw $D$ and $F$

하지만, 아직 Domain $D$와 Field $(F, +, \cdot)$ 사이의 관계에 대해선 명확히 언급한 바가 없다. 이제 이 둘의 관계에 대해 살펴보자.

우리는 Domain $D$가 Field $(F, +, \cdot)$의 Sub-Domain과 동형임을 보일 것이다.

Lemma.

We will show $D \cong \{[(d, 1)] \mid d \in D \}$

즉, $D$와 우항 사이에 Isomorphism $\phi$가 있음을 보일 것이다.

Define $\phi$ as

\[\begin{aligned} \phi: D &\longrightarrow F \\ a &\longmapsto [(a, 1)] \end{aligned}\]

proof..

Check

1. $\phi$ is additive homormophism
2. $\phi$ is multiplicative homormophism
3. $\phi$ is 1-1 & onto

이것에 대한 증명 역시 쉽게 할 수 있으므로 생략한다.

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이것으로 아래의 정리가 성립한다.

Theorem.

Any Integral Domain $D$ can be enlarged to a Field $F$ which consist of quotient of $D$.

이때의 Field $F$를 Quotient Field라고 한다.

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Uniqueness of Quotient Field

Domain $D$를 포함하는 어떤 Field가 있다고 하자. 그러면 이 Field에는 $a, b \in D$에 대해 $a/b$를 원소로 가질 것이다.

따라서 우리가 $D$로부터 유도한 Field $F$는 $D$를 포함하는 가장 작은 Field가 될 것이다!!

즉, Domain $D$를 포함하는 모든 Field는 $D$의 Quotient Field를 포함하며, 또한 Domain $D$의 any two Qutotient Field는 서로 동형이다.

이것을 수학적으로 기술하면 아래와 같다.

Theorem.

Let $F$ be a Quotient Field of Domain $D$, and let $L$ be a any field containing $D$. ($L$ is any extension field of $D$.)

THEN, $\exists$ a 1-1 ring homormophism $\psi: F \longrightarrow L$ s.t. $\psi(x) = x$ for $\forall x \in D$.

즉, $F \cong \psi[F] \subset L$.

proof..

$L$ is extension field of $D$. 따라서 $D \le L$.

이제 $L$과 $F$ 사이의 homomorphism $\psi$를 정의해보자.

\[\begin{aligned} \psi: F &\longrightarrow L \\ \frac{a}{b} &\longmapsto ab^{-1} \end{aligned}\]

이 $\psi$가 1-1 & ring homomorphism임을 확인하자.

(1) $\psi$ is a ring homo-.

• Ring Multiplication

\[\begin{aligned} \psi \left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right) &= \psi \left( \frac{ac}{bd} \right) \\ &= (ac)(bd)^{-1} \\ &= (ac)(d^{-1}b^{-1}) \\ &= ab^{-1} cd^{-1} \\ &= \psi \left(\frac{a}{b} \right) \cdot \psi \left(\frac{c}{d} \right) \end{aligned}\]

• Ring Addition

\[\begin{aligned} \psi \left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) &= \psi \left( \frac{ad + bc}{bd} \right) \\ &= (ad +bc)(bd)^{-1} \\ &= (ad + bc)(d^{-1}b^{-1}) \\ &= (ad)(d^{-1}b^{-1}) + (bc)(d^{-1}b^{-1}) \\ &= ab^{-1} + cd^{-1} \\ &= \psi \left(\frac{a}{b} \right) + \psi \left(\frac{c}{d} \right) \end{aligned}\]

(2) $\psi$ is 1-1

$\ker \psi = \{ e \}$인지 확인하자.

Supp. $\psi \left( \frac{a}{b} \right) = 0_L$, then

\[\begin{aligned} &ab^{-1} = 0_L \\ &\implies (ab^{-1}) \cdot b = a \cdot = 0 \cdot b = b \\ \end{aligned}\]

따라서 $a = 0$이고, 이것은 $\ker \psi = \{ 0_F \} = \{ e \}$를 의미한다.

우리는 명제에서 요구하는 ring homomorphism $\psi$를 잘 정의하였다.

이것이 아래의 두 성질은 만족시키는지 확인하자.

• for $x \in D$, $\psi(x) = x$
• $F \cong \psi[F]$

$x \in D$는 $F$ 아래에서 $\dfrac{x}{1} \in F$이다.

이때, $\psi \left( \dfrac{x}{1} \right) = x \cdot 1^{-1} = x \in D$이다.

따라서 $\psi$는 $D$를 보존하는 사상이다.

$\psi$가 ring homo-., 1-1임을 밝혔다.

$\psi[F]$는 $\psi$의 Image 이므로 onto 역시 성립한다.

따라서 $F \cong \psi[F]$이다.

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Corollary.

Every field $L$ containing an integral domain $D$ contains the field of quotient of $D$.

Corollary.

Any two field of quotient of an integral domain $D$ are isomorphic as rings.