Quotient Field

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

December 19, 2020 8 minute read

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

Motivation.

정수 $Z$ 와 유리수 $Q$ 에 대해 생각해보자.

정수 $Z$ 는 zero-divisor가 없으므로 Integral Domain이다. 물론 정수 $Z$ 는 Ring이기도 하다.

유리수 $Q$ 는 Integral Domain과 Ring보다 상위 단계인 Field다.

우리는 다른 평범한 Ring-Field 사이와는 달리 정수 $Z$ 와 유리수 $Q$ 사이에 어떤 좋은 관계가 있음을 보여주고 싶다!

앞으로 소개할 방법을 사용하면, Integral Domain인 $Z$ 가 Field인 $Q$ 에 포함되어 있음을 보일 수 있다! 한번 살펴보자 ㅎㅎ

우리가 사용하는 방법을 일반적인 형태로 기술하면 아래와 같다.

Integral Domain

D

를 Quotient Field

F

로 확장

4가지 단계를 통해 Integral Domain $D$ 를 Quotient Field $F$ 로 확장할 수 있다 ㅎㅎ

1. Define element of $F$ Permalink

For given domain $D$ , think of Cartesian Product of it.

D \times D = {(a, b) ∣ a, b \in D}

우리는 $D \times D$ 의 원소인 순서쌍 $(a, b)$ 를 formal quotient $a / b$ 라고 생각할 것이다.

하지만, $D \times D$ 를 $F$ 라고 보기에는 아직 충분치 않다. 그래서 아래와 같은 Equivalent Relation을 정의하자.

Definition.

(a, b) \sim (c, d) ⟺ a d = b c

$\sim$ 가 Equiv Relation임을 증명하는 것은 생략하겠다.

Equiv Relation $\sim$ 에 의해 유도되는 Equiv Class $[(a, b)]$ 를 생각해보자. 나중에 이것이 바로 우리가 유도할 $F$ 의 원소가 된다!

아직 $F$ 를 완전히 유도한 것은 아니다.

2. Define addition & multiplication on $F$ Permalink

Equiv class $[(a, b)]$ 에 대해 연산을 아래와 같이 정의하자.

\begin{aligned} + & : [(a, b)] + [(c, d)] = [(a d + b c, b d)] \\ \cdot & : [(a, b)] \cdot [(c, d)] = [(a c, b d)] \end{aligned}

이제 위에서 정의한 두 연산이 Well-defined되어 있음을 보여야 한다.

proof..

Supp. $[(a, b)] = [(a^{'}, b^{'})]$ , and $[(c, d)] = [(c^{'}, d^{'})]$

Check $[(a d + b c, b d)] = [(a^{'} d^{'} + b^{'} c^{'}, b^{'} d^{'})]$ , and $[(a c, b d)] = [(a^{'} c^{'}, b^{'} d^{'})]$ .

자세한 증명은 생략한다.

이를 통해 $F$ 에서 사용할 연산 $+$ 와 $\cdot$ 를 정의하였다.

3. Check $(F, +, \cdot)$ is a fieldPermalink

과정 1, 2에서 사용한 것들을 바탕으로 Field $(F, +, \cdot)$ 를 정의한다.

$(F, +, \cdot)$ 가 Field임을 확인하기 위해 아래의 3가지 사실을 확인해야 한다.

$(F, +)$ is a abelian group
$(F, \cdot)$ is a abelian group
Ring Distributive Law

위의 3가지 사실을 확인하는 과정은 생략한다.

자! 이제 우리는 Field $(F, +, \cdot)$ 를 얻게 되었다!

Show relationship btw $D$ and $F$ Permalink

하지만, 아직 Domain $D$ 와 Field $(F, +, \cdot)$ 사이의 관계에 대해선 명확히 언급한 바가 없다. 이제 이 둘의 관계에 대해 살펴보자.

우리는 Domain $D$ 가 Field $(F, +, \cdot)$ 의 Sub-Domain과 동형임을 보일 것이다.

Lemma.

We will show $D ≅ {[(d, 1)] ∣ d \in D}$

즉, $D$ 와 우항 사이에 Isomorphism $ϕ$ 가 있음을 보일 것이다.

Define $ϕ$ as

\begin{aligned} ϕ : D & ⟶ F \\ a & ⟼ [(a, 1)] \end{aligned}

proof..

Check

$ϕ$ is additive homormophism
$ϕ$ is multiplicative homormophism
$ϕ$ is 1-1 & onto

이것에 대한 증명 역시 쉽게 할 수 있으므로 생략한다.

이것으로 아래의 정리가 성립한다.

Theorem.

Any Integral Domain $D$ can be enlarged to a Field $F$ which consist of quotient of $D$ .

이때의 Field $F$ 를 Quotient Field라고 한다.

Uniqueness of Quotient FieldPermalink

Domain $D$ 를 포함하는 어떤 Field가 있다고 하자. 그러면 이 Field에는 $a, b \in D$ 에 대해 $a / b$ 를 원소로 가질 것이다.

따라서 우리가 $D$ 로부터 유도한 Field $F$ 는 $D$ 를 포함하는 가장 작은 Field가 될 것이다!!

즉, Domain $D$ 를 포함하는 모든 Field는 $D$ 의 Quotient Field를 포함하며, 또한 Domain $D$ 의 any two Qutotient Field는 서로 동형이다.

이것을 수학적으로 기술하면 아래와 같다.

Theorem.

Let $F$ be a Quotient Field of Domain $D$ , and let $L$ be a any field containing $D$ . ( $L$ is any extension field of $D$ .)

THEN, $\exists$ a 1-1 ring homormophism $ψ : F ⟶ L$ s.t. $ψ (x) = x$ for $\forall x \in D$ .

즉, $F ≅ ψ [F] \subset L$ .

proof..

$L$ is extension field of $D$ . 따라서 $D \leq L$ .

이제 $L$ 과 $F$ 사이의 homomorphism $ψ$ 를 정의해보자.

\begin{aligned} ψ : F & ⟶ L \\ \frac{a}{b} & ⟼ a b^{- 1} \end{aligned}

이 $ψ$ 가 1-1 & ring homomorphism임을 확인하자.

(1) $ψ$ is a ring homo-.

Ring Multiplication

\begin{aligned} ψ (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) & = ψ (\frac{a c}{b d}) \\ = (a c) (b d)^{- 1} \\ = (a c) (d^{- 1} b^{- 1}) \\ = a b^{- 1} c d^{- 1} \\ = ψ (\frac{a}{b}) \cdot ψ (\frac{c}{d}) \end{aligned}

Ring Addition

\begin{aligned} ψ (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) & = ψ (\frac{a d + b c}{b d}) \\ = (a d + b c) (b d)^{- 1} \\ = (a d + b c) (d^{- 1} b^{- 1}) \\ = (a d) (d^{- 1} b^{- 1}) + (b c) (d^{- 1} b^{- 1}) \\ = a b^{- 1} + c d^{- 1} \\ = ψ (\frac{a}{b}) + ψ (\frac{c}{d}) \end{aligned}

(2) $ψ$ is 1-1

$\ker ψ = {e}$ 인지 확인하자.

Supp. $ψ (\frac{a}{b}) = 0_{L}$ , then

\begin{aligned} a b^{- 1} = 0_{L} \\ ⟹ (a b^{- 1}) \cdot b = a \cdot = 0 \cdot b = b \end{aligned}

따라서 $a = 0$ 이고, 이것은 $\ker ψ = {0_{F}} = {e}$ 를 의미한다.

우리는 명제에서 요구하는 ring homomorphism $ψ$ 를 잘 정의하였다.

이것이 아래의 두 성질은 만족시키는지 확인하자.

for $x \in D$ , $ψ (x) = x$
$F ≅ ψ [F]$

$x \in D$ 는 $F$ 아래에서 $\frac{x}{1} \in F$ 이다.

이때, $ψ (\frac{x}{1}) = x \cdot 1^{- 1} = x \in D$ 이다.

따라서 $ψ$ 는 $D$ 를 보존하는 사상이다.

$ψ$ 가 ring homo-., 1-1임을 밝혔다.

$ψ [F]$ 는 $ψ$ 의 Image 이므로 onto 역시 성립한다.

따라서 $F ≅ ψ [F]$ 이다.

Corollary.

Every field $L$ containing an integral domain $D$ contains the field of quotient of $D$ .

Corollary.

Any two field of quotient of an integral domain $D$ are isomorphic as rings.

Seokyun Ha (aka. bluehorn07)

Quotient Field

1. Define element of $F$ Permalink

2. Define addition & multiplication on $F$ Permalink

3. Check $(F, +, \cdot)$ is a fieldPermalink

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