Factor Group - Application

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

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Theorem.

Let $H \times K$ be a direct product of group $H$, $K$.

Then, $\overline{H} = H \times \{ e_K \}$ is a normal subgroup of $H \times K$.

이때,

\[H \times K / {\overline{H}} = H \times K / H \times \{ e_K \} \cong K\]

proof.

2번째 명제만 증명하겠다.

Homomorphism $\phi$를 하나 정의하자.

\[\begin{aligned} \phi: H \times K & \longrightarrow K \\ (h, k) & \longmapsto k \end{aligned}\]

이때, homomorphism의 kernel을 생각해보자. 그러면, $\ker \phi = (H, e_K)$이다.

FHT에 따르면,

\[H \times K / {\ker \phi} \cong \phi[ H \times K ]\]

이다.

따라서

\[\begin{aligned} H \times K / \ker \phi &\cong \phi[H \times K] \\ H \times K / (H, e_K) = H \times K / \overline{H} &\cong K \end{aligned}\]

$\blacksquare$

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Theorem.

A factor group of cyclic is also cyclic.

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아주아주아주 중요한 문제다!!

example.

\[\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6 / <(2, 3)> \; \cong \; ?\]

Sol.

먼저 주어진 factor group $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6 / <(2, 3)>$의 위수를 구해보자.

\[\lvert \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6 / <(2, 3)> \rvert = 24/2 = 12\]

직접 계산을 해보면, $\lvert <(2, 3)> \rvert = 2$임을 확인할 수 있다.

이 이후에는 cyclic group인 $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$의 factor group이므로 $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6 / <(2, 3)>$ 역시 cyclic group이어야 한다.

이때, “F.T. of f.g. abelian”을 활용해 위수가 12인 Cyclic Grouop을 찾아보면 아래의 두 Group이 된다.

• $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4$
• $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$

이번에는 $H = <(2, 3)>$의 left coset들 중 하나를; 직접 살펴보자.

$(1, 0) + H \in \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6 / <(2, 3)>$

$(1, 0) + H$의 위수는

• $\left((1, 0) + H\right) + \left((1, 0) + H\right) = \left((2, 0) + H\right) \ne H$
• $(3, 0) + H \ne H$
• $(4, 0) + H = H$

따라서 $\lvert (1, 0) + H \rvert = 4$이다.

이제 앞에서 “F.T. of f.g. abelian”에서 얻은 두 cyclic group 중 위수 4의 원소를 갖는 group을 찾아보자.

$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$는 위수가 1, 2, 3, 6인 원소만을 갖는다. 따라서 이 cyclic group은 우리가 찾는 동형인 Group이 아니다!

$\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4$의 경우, 위수가 4인 원소를 갖는다! 따라서 $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4$가 우리가 찾고자 하는 동형인 Cyclic Group이다!!

따라서

\[\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6 / <(2, 3)> \; \cong \; \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4\]

$\blacksquare$

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마찬가지의 방법으로 아래의 문제도 풀어보자.

example.

\[\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / <(1, 1)> \; \cong \; ?\]

Sol.

$<(1, 1)>$로 생성되는 left coset들을 생각해보자. 그러면

• …
• $\Delta = -1$: …, (-1, 0), (0, 1), (1, 2), …
• $\Delta = \;\;\; 0$: …, (-1, -1), (0, 0), (1, 1), …
• $\Delta = +1$: …, (0, -1), (1, 0), (2, 1), …
• …

그러면, 대략 이 묶음이 $\mathbb{Z}$ 만큼 존재하게 된다.

따라서

\[\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / <(1, 1)> \; \cong \; \mathbb{Z}\]

$\blacksquare$