Factor Group - Application

2번째 명제만 증명하겠다.

Homomorphism $\varphi$를 하나 정의하자.

이때, homomorphism의 kernel을 생각해보자. 그러면, $\ker \varphi =(H,e_K)$이다.

FHT에 따르면,

이다.

따라서

$◼$

먼저 주어진 factor group ${\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_6/<(2,3)>$의 위수를 구해보자.

직접 계산을 해보면, $|<(2,3)>|=2$임을 확인할 수 있다.

이 이후에는 cyclic group인 ${\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_6$의 factor group이므로 ${\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_6/<(2,3)>$ 역시 cyclic group이어야 한다.

이때, “F.T. of f.g. abelian”을 활용해 위수가 12인 Cyclic Grouop을 찾아보면 아래의 두 Group이 된다.

• ${\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_4$
• ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_3$

이번에는 $H=<(2,3)>$의 left coset들 중 하나를; 직접 살펴보자.

$(1,0)+H\in {\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_6/<(2,3)>$

$(1,0)+H$의 위수는

• $((1,0)+H)+((1,0)+H)=((2,0)+H)\ne H$
• $(3,0)+H\ne H$
• $(4,0)+H=H$

따라서 $|(1,0)+H|=4$이다.

이제 앞에서 “F.T. of f.g. abelian”에서 얻은 두 cyclic group 중 위수 4의 원소를 갖는 group을 찾아보자.

${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_3$는 위수가 1, 2, 3, 6인 원소만을 갖는다. 따라서 이 cyclic group은 우리가 찾는 동형인 Group이 아니다!

${\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_4$의 경우, 위수가 4인 원소를 갖는다! 따라서 ${\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_4$가 우리가 찾고자 하는 동형인 Cyclic Group이다!!

따라서

$◼$

$<(1,1)>$로 생성되는 left coset들을 생각해보자. 그러면

• …
• $\mathrm{\Delta }=-1$: …, (-1, 0), (0, 1), (1, 2), …
• $\mathrm{\Delta }=0$: …, (-1, -1), (0, 0), (1, 1), …
• $\mathrm{\Delta }=+1$: …, (0, -1), (1, 0), (2, 1), …
• …

그러면, 대략 이 묶음이 $\mathbb{Z}$ 만큼 존재하게 된다.

따라서

$◼$