Fundamental Homomorphism Theorem

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

December 25, 2020 3 minute read

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

FHT를 살펴보기 전에 간단한 Factor Group Homomorphism에 대해 살펴보자.

Canonical HomomorphismPermalink

Theorem.

Let $H ⊴ G$ , and define a mapping $γ : G ⟶ G / H$ where $γ (x) = x H$ .

Then, $γ$ is a group homormophism, with $\ker γ = H$ .

proof.

증명은 정말 간단하다.

(1) $γ$ 가 homomorphism임을 보이고, (2) $γ$ 의 kernel이 $H$ 임을 보이면 된다.

증명이 너무 쉬워서 여기에서는 생-략한다.

주목할 점은 이 homormophism $γ$ 에 이름이 붙었다는 것이다.

“Canonical homormophism“이라는 이름이다!

이제 Homo-morphism 파트에서 가장 중요하고, 응용도 많이 되는 FHT에 대해 살펴보자!

Theorem. Fundamental Homormophism Theorem (FHT)

Let $ϕ : G ⟶ G^{'}$ be a group homo-.

Then,

$ϕ [G]$ is a group.
$G / \ker ϕ ≅ ϕ [G]$

proof.

1. $ϕ [G]$ is a group

$ϕ [G]$ 가 Group의 성질을 잘 만족하는지 확인하면 된다.

(1) closed under opr.

$ϕ (g_{1}) \cdot ϕ (g_{2}) = ϕ (g_{1} g_{2})$

(2) associativity

생-략

(3) identity

$ϕ (e) = e^{'}$ is identity in $ϕ [G]$ .

(4) inverse

${(ϕ (g))}^{- 1} = ϕ (g^{- 1}) \in ϕ [G]$

2. $G / \ker ϕ ≅ ϕ [G]$

두 Group의 동형을 보이기 위해 mapping $μ$ 를 아래와 같이 정의하자.

\begin{aligned} μ : G / \ker ϕ & ⟶ ϕ [G] \\ g (\ker ϕ) & ⟼ ϕ (g) \end{aligned}

$μ$ 가 iso-morphism인지 확인하자!

(1) $μ$ is a homo-.

\begin{aligned} μ (g_{1} K \cdot g_{2} K) & = μ (g_{1} g_{2} K) = ϕ (g_{1} g_{2}) \\ μ (g_{1} K) \cdot μ (g_{2} K) & = ϕ (g_{1}) \cdot ϕ (g_{2}) = ϕ (g_{1} g_{2}) \end{aligned}

따라서 $μ$ 는 Homo-이다.

(2) $μ$ is 1-1 & onto

(i) $μ$ is onto

For $ϕ (a) \in ϕ [G]$ , there’s an inverse image of it. It is $a (\ker ϕ)$ .

(ii)

Supp. $μ (a K) = μ (b K)$ , Then

\begin{aligned} μ (a K) = μ (b K) & ⟹ ϕ (a) = ϕ (b) \\ ⟹ ϕ (b)^{- 1} ϕ (a) = e^{'} \\ ⟹ ϕ (b^{- 1} a) = e^{'} \\ ⟹ b^{- 1} a \in K = \ker ϕ \\ ⟹ b^{- 1} a K = K \\ ⟹ a K = b K \end{aligned}

well-definedness도 잊지 말고 확인하자!

(3) $μ$ is well-defined.

Supp. $a K = b K$ , Then

\begin{aligned} a K = b K & ⟹ b^{- 1} a K = K \\ ⟹ b^{- 1} a \in K = \ker ϕ \\ ⟹ ϕ (b^{- 1} a) = e^{'} \\ ⟹ ϕ (b^{- 1}) ϕ (a) = e^{'} \\ ⟹ ϕ (a) = ϕ (b) \\ ⟹ μ (a K) = ϕ (a) = ϕ (b) = μ (b K) \end{aligned}

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Matthew Macauley

Seokyun Ha (aka. bluehorn07)

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