Fundamental Homomorphism Theorem

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

---

FHT를 살펴보기 전에 간단한 Factor Group Homomorphism에 대해 살펴보자.

Canonical Homomorphism

Theorem.

Let $H \trianglelefteq G$, and define a mapping $\gamma: G \longrightarrow G/H$ where $\gamma(x) = xH$.

Then, $\gamma$ is a group homormophism, with $\ker \gamma = H$.

proof.

증명은 정말 간단하다.

(1) $\gamma$가 homomorphism임을 보이고, (2) $\gamma$의 kernel이 $H$임을 보이면 된다.

증명이 너무 쉬워서 여기에서는 생-략한다.

주목할 점은 이 homormophism $\gamma$에 이름이 붙었다는 것이다.

“Canonical homormophism“이라는 이름이다!

---

이제 Homo-morphism 파트에서 가장 중요하고, 응용도 많이 되는 FHT에 대해 살펴보자!

Theorem. Fundamental Homormophism Theorem (FHT)

Let $\phi: G \longrightarrow G’$ be a group homo-.

Then,

1. $\phi[G]$ is a group.
2. $G / {\ker \phi} \cong \phi[G]$

proof.

1. $\phi[G]$ is a group

$\phi[G]$가 Group의 성질을 잘 만족하는지 확인하면 된다.

(1) closed under opr.

$\phi(g_1) \cdot \phi(g_2) = \phi(g_1 g_2)$

(2) associativity

생-략

(3) identity

$\phi(e) = e’$ is identity in $\phi[G]$.

(4) inverse

$\left(\phi(g)\right)^{-1} = \phi(g^{-1}) \in \phi[G]$

2. $G / {\ker \phi} \cong \phi[G]$

두 Group의 동형을 보이기 위해 mapping $\mu$를 아래와 같이 정의하자.

\[\begin{aligned} \mu: G / {\ker \phi} & \longrightarrow \phi[G] \\ g(\ker \phi) & \longmapsto \phi(g) \end{aligned}\]

$\mu$가 iso-morphism인지 확인하자!

(1) $\mu$ is a homo-.

\[\begin{aligned} \mu (g_1 K \cdot g_2 K) &= \mu (g_1 g_2 K) = \phi(g_1 g_2) \\ \mu (g_1 K) \cdot \mu (g_2 K) &= \phi(g_1) \cdot \phi(g_2) = \phi(g_1 g_2) \end{aligned}\]

따라서 $\mu$는 Homo-이다.

(2) $\mu$ is 1-1 & onto

(i) $\mu$ is onto

For $\phi(a) \in \phi[G]$, there’s an inverse image of it. It is $a(\ker \phi)$.

(ii)

Supp. $\mu(aK) = \mu(bK)$, Then

\[\begin{aligned} \mu(aK) = \mu(bK) &\implies \phi(a) = \phi(b) \\ &\implies \phi(b)^{-1} \phi(a) = e' \\ &\implies \phi(b^{-1} a) = e' \\ &\implies b^{-1} a \in K = \ker \phi \\ &\implies b^{-1}a K = K \\ &\implies aK = bK \end{aligned}\]

well-definedness도 잊지 말고 확인하자!

(3) $\mu$ is well-defined.

Supp. $aK = bK$, Then

\[\begin{aligned} aK = bK &\implies b^{-1} a K = K \\ &\implies b^{-1} a \in K = \ker \phi \\ &\implies \phi(b^{-1}a) = e' \\ &\implies \phi(b^{-1}) \phi(a) = e' \\ &\implies \phi(a) = \phi(b) \\ &\implies \mu(aK) = \phi(a) = \phi(b) = \mu(bK) \end{aligned}\]

---

Application

---

Reference

• Matthew Macauley