index-2 Group is normal

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

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"Any subgroup of index 2 is a normal subgroup."

Theorem.

Let $H \le G$,

If $\lvert G \rvert / \lvert H \rvert = 2$,

Then $H \trianglelefteq G$.

proof.

The set of left cosets of $H$ in $G$ forms a partition of $G$.

\[\begin{equation} G = H {\cup\mkern-11.5mu\cdot\mkern5mu} {g_i H} \end{equation}\]

Then,

\[\begin{aligned} \lvert G \rvert &= \sum_{i \in \Lambda} \lvert {g_i H} \rvert \\ & = n \times \lvert H \rvert \end{aligned}\]

또한, 정리에서 $\lvert G \rvert / \lvert H \rvert = 2$라고 했으므로

\[\lvert \Lambda \rvert = \lvert G \rvert / \lvert H \rvert = 2 = n\]

즉, Group $G$가 2개의 left coset으로 분할됨을 의미한다.

그럼 $G/H$는

\[G/H = \{ H, \; gH \} \quad \textrm{for some} \; g \in G \setminus H\]

가 된다.

이때, Eq. (1)에서 left coset은 distjoint union으로 $G$를 분할한다.

이 분할은 right coset에 대해서도 마찬가지 이므로

\[\begin{equation} G = H {\cup\mkern-11.5mu\cdot\mkern5mu} {Hg} \end{equation}\]

이때, Eq. (1)과 Eq. (2)를 비교해보자.

$g \notin H$이므로 $H \ne Hg$이다. (연산의 닫힘성 위배)

따라서 $gH = Hg$ for some $g \in G \setminus H$이다.

이때, $g \in H$라면, $gH = H = Hg$이므로 두 상황을 합쳐서 진술하면 아래와 같다.

\[gH = Hg \quad \forall g \in G\]

이것은 $H$가 Normal subgroup임을 의미한다! $\blacksquare$

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확정적으로 Normal Subgroup을 찾을 수 있는 이 정리는 Symmetric Group $S_n$과 Alternating Group $A_n$ 사이 관계를 명확히 진술한다!

$A_n$ is even permutation group. $A_n = \dfrac{\lvert S_n \rvert}{2}$ 따라서 $A_n \trianglelefteq S_n$