index-2 Group is normal
2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)
"Any subgroup of index 2 is a normal subgroup."
Theorem.
Let $H \le G$,
If $\lvert G \rvert / \lvert H \rvert = 2$,
Then $H \trianglelefteq G$.
proof.
The set of left cosets of $H$ in $G$ forms a partition of $G$.
\[\begin{equation} G = H {\cup\mkern-11.5mu\cdot\mkern5mu} {g_i H} \end{equation}\]Then,
\[\begin{aligned} \lvert G \rvert &= \sum_{i \in \Lambda} \lvert {g_i H} \rvert \\ & = n \times \lvert H \rvert \end{aligned}\]또한, 정리에서 $\lvert G \rvert / \lvert H \rvert = 2$라고 했으므로
\[\lvert \Lambda \rvert = \lvert G \rvert / \lvert H \rvert = 2 = n\]즉, Group $G$가 2개의 left coset으로 분할됨을 의미한다.
그럼 $G/H$는
\[G/H = \{ H, \; gH \} \quad \textrm{for some} \; g \in G \setminus H\]가 된다.
이때, Eq. (1)에서 left coset은 distjoint union으로 $G$를 분할한다.
이 분할은 right coset에 대해서도 마찬가지 이므로
\[\begin{equation} G = H {\cup\mkern-11.5mu\cdot\mkern5mu} {Hg} \end{equation}\]이때, Eq. (1)과 Eq. (2)를 비교해보자.
$g \notin H$이므로 $H \ne Hg$이다. (연산의 닫힘성 위배)
따라서 $gH = Hg$ for some $g \in G \setminus H$이다.
이때, $g \in H$라면, $gH = H = Hg$이므로 두 상황을 합쳐서 진술하면 아래와 같다.
\[gH = Hg \quad \forall g \in G\]이것은 $H$가 Normal subgroup임을 의미한다! $\blacksquare$
확정적으로 Normal Subgroup을 찾을 수 있는 이 정리는 Symmetric Group $S_n$과 Alternating Group $A_n$ 사이 관계를 명확히 진술한다!
$A_n$ is even permutation group.
$A_n = \dfrac{\lvert S_n \rvert}{2}$
따라서 $A_n \trianglelefteq S_n$