Factor Rings & Ideals

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

December 27, 2020 5 minute read

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

Definition. Ring homomorphism

Let $R$ , $R^{'}$ be rings

A map $ϕ : R ⟶ R^{'}$ is a ring homomorphism

$ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b)$ ; group homomorphism
$ϕ (a \cdot b) = ϕ (a) \cdot ϕ (b)$ ; semi-group homomorphism

Example. Projection homomorphism

Let $R_{1}$ , $R_{2}$ , …, $R_{n}$ be rings.

The map $π_{i} : R_{1} \times R_{2} \times \dots \times R_{n} ⟶ R_{i}$ defined by $π_{i} (r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}) = r_{i}$ is a homormophism.

“projection onto the $i$ -th component”

Theorem.

Let $ϕ$ be a homo- of a ring $R$ onto a ring $R^{'}$ .

1. $ϕ (0_{R}) = 0_{R^{'}}$

2. $ϕ (- a) = - ϕ (a)$

3. If $S \leq R$ , then $ϕ (S) \leq R^{'}$

4. If $S^{'} \leq R^{'}$ , then $ϕ^{- 1} (S^{'}) \leq R$

5. If $1 \in R$ , then $ϕ (1)$ is unity of $ϕ (R)$

proof.

3번 명제만 증명을 해보자.

3번 명제에 대한 증명

(1) Closure

For $ϕ (x), ϕ (y) \in ϕ (R)$ ,

$ϕ (x) + ϕ (y) = ϕ (x + y)$

$ϕ (x) \cdot ϕ (y) = ϕ (x \cdot y)$

* comment: 처음에 $x, y \in ϕ (R)$ 로 시작해서 증명을 복잡하게 생각했다. $ϕ$ 와 함께 바로 원소 $ϕ (x), ϕ (y)$ 를 잡으면 정말 쉽게 증명할 수 있는 명제다!

Definition. kernel of ring homomorphism

Let $ϕ : R ⟶ R^{'}$ be a ring homomorphism.

The sub-ring $ϕ^{- 1} (0^{'}) = {r \in R ∣ ϕ (r) = 0^{'}}$

is the kernel of $ϕ$ ; $\ker ϕ$ .

Example.

$R ≇ C$ as a ring isomorphism.

IdealPermalink

Theorem.

Let $H$ be a sub-ring of ring $R$ ; $H \leq R$ .

Multiplication of additive cosets of $H$ is well-defined

(a + H) (b + H) := a b + H

$⟺$ $a H \subseteq H$ , $H b \subseteq H$ for all $a, b \in R$ .

proof.

(

⟸

)

( $⟸$ ) Supp. $a h, h b \in H$ for all $a, b \in R$ and all $h \in H$ .

Let $h_{1}, h_{2} \in H$ so that $a + h_{1}$ , $b + h_{2}$ are representatives of cost $a + H$ , $b + H$ containing $a$ and $b$ .

Then,

(a + h_{1}) (b + h_{2}) = a b + a h_{2} + h_{1} b + h_{1} h_{2}

처음 가정에 의해 $a h_{2}, h_{1} b, h_{1} h_{2} \in H$ 이므로 $(a + h_{1}) (b + h_{2}) \in (a b + H)$ 이다. $◼$

(

⟹

)

( $⟹$ ) Supp. multiplication of cosets is well-defined.

Let $a \in R$ , and consider coset product $(a + H) (0 + H)$ .

Then,

\begin{aligned} (a + H) (0 + H) & = a 0 + a H + H 0 + H H \\ = 0 + a H + 0 + H \\ = a H + H \\ = a 0 + H = H (by definition of operation) \end{aligned}

위의 식에서 $a H$ 는 $H$ 의 원소가 되어야 한다.

따라서 $a H \subseteq H$ 가 된다!

마찬가지로 반대로 $H (b + H)$ 를 진행하면 $H b \subseteq H$ 를 확인할 수 있다.

$◼$

Group Theory에선 Normal subgroup이 Factor group의 연산을 잘 정의하는 데에 중요한 조건이 되었다.

마찬가지로 Ring Theory에서도 좋은 Normal sub-ring을 골라 Factor Ring을 정의할 수 있다!!

바로 위의 정리는 Factor Ring 연산이 well-defined 되기 위해서

for $a, b \in R$

$a H \subseteq H$
$H b \subseteq H$

를 만족해야 함을 진술한다.

Definition. Ideal

A subgroup $N$ of a ring $R$ is an “ideal”, when

a N \subseteq N and N b \subseteq N \forall a, b \in R

이 subgroup $N$ 을 ideal $I$ 로 표현하자.

Definition. Factor Ring

Let $I$ be an ideal of a ring $R$ .

Then $R / I$ is a ring.

※ Note: Ideal $I$ 의 정의상 $(I, +) ⊴ (R, +)$ 이다.

※ TODO: Check $R / I$ is a ring

the set of additive left coset is abelian?
the set of additive left coset is semi-group?
Associativity?
Distributive Law?

Theorem. canonical homomorphism on ring

Let $I ⊴ R$ , then

\begin{aligned} ϕ : R & ⟶ R / I \\ r & ⟼ r I \end{aligned}

Theorem. FHT on ring

R / \ker ϕ ≅ ϕ [R]

Seokyun Ha (aka. bluehorn07)

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