Group Rings & Group Algebras

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

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Group Rings & Group Algebras

Definition. Group Ring

Let $G = \{ g_i \mid i \in I \}$ be a group under multiplicity, and

let $R$ be a commutative ring with non-zero unity.

Let $R(G)$ be the set of all formal sums

\[\sum_{i \in I} {a_i g_i}\]

where finite number of $a_i$ are non-zero.

Properties.

• $(R(G), +)$ is abelian group.

\[\left( \sum_{i \in I} {a_i g_i} \right) + \left( \sum_{i \in I} {b_i g_i} \right) = \sum_{i \in I} {(a_i + b_i) g_i}\]

• multiplicity is closed.

\[\left( \sum_{i \in I} {a_i g_i} \right) \cdot \left( \sum_{i \in I} {b_i g_i} \right) = \sum_{i \in I} \left({ \sum_{g_j g_k = g_i} } {a_j b_k}\right) g_i\]

• Associativity

생-략

Group Ring과 Polynomial의 차이는 power에 있다.

• Polynomial은 power를 $\mathbb{N}$으로 표현하는 반면
• Group Ring은 power를 $g_i \in G$로 표현한다.

Theorem.

If $G$ is any group written multiplicatively, and $R$ is a commutative ring with non-zero unity,

then $(R(G), +, \cdot\;)$ is a ring.

위에서 진행했던 과정들이 이 정리의 증명이 된다.

Definition. Group Ring & Group Algebra

위와 같은 Ring $R(G)$를 “Group Ring“라고 한다.

만약 $F$가 Field라면, $F(G)$는 “Group Algebra“라고 한다.

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The Quaternions

The Quternions $\mathbb{H}$

• non-commutative division ring
• skew field
• $\mathbb{H} \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$

Properties.

• Quaternion addition
• Quaternion multiplication
• Quaternion conjugate; $\bar{q}$
• Quaternion inverse; $(q)^{-1} = \dfrac{\bar{q}}{ {\lvert q \rvert}^2 }$

Theorem.

The Quaternions forms a skew field under $+$ and $\cdot\;$.

Theorem. Wedderburn’s Theorem

Every finite division ring is a field.

Comment

아무리 생각해봐도 Quaternions로 이루어진 finite division ring을 구상할 수가 없었다 ㅠㅠ ($\mathbb{R} \le \mathbb{H}$ 제외)

추측하건데, Quaternion $H$로는 finite sub-ring을 만들 수 없는게 아닌가 생각하고 있다 ㅠㅠ

(잘 생각해보면, $\mathbb{Z}$나 $\mathbb{Q}$에서도 둘로부터 finite sub-ring을 만드는 건 불가능 하긴 했다 ㅋㅋㅋ)