Prime Field

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

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Theorem.

$R$: Ring + unity

\[\begin{aligned} \phi: \mathbb{Z} &\longrightarrow R \\ n &\longmapsto n \cdot 1 = 1 + \cdots + 1 \end{aligned}\]

then, $\phi$ is a ring homomoprhism.

Corollary.

$R$: Ring + unity

$\textrm{Char}(R) = n > 1$

1. $R$ contains sub-ring $H$ s.t. $H \cong \mathbb{Z}_n$

2. If $\textrm{Char}(R) = 0$, then $R$ contains sub-ring $H$ s.t. $H \cong \mathbb{Z}$.

proof.

Let $\phi$ be a ring homomorphism mentioned above.

Then, $\ker \phi = s \mathbb{Z}$ where $s := \textrm{Char}(R)$.

By FHT,

\[\begin{aligned} \mathbb{Z} / {\ker \phi} &\cong \phi(\mathbb{Z}) \\ \mathbb{Z} / {s \mathbb{Z}} &\cong \mathbb{Z}_s = \phi(\mathbb{Z}) \le R \end{aligned}\]

Especially, for (Case 2.), if $\textrm{Char}(R) = 0$, then $\ker \phi = \{ 0 \}$.

This means homomorphism $\phi$ is 1-1.

Thus $R \ge \phi(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$. $\blacksquare$.

Theorem.

Let $F$ be a Field.

Then, $\textrm{Char}(F) = p$ (prime) or $\textrm{Char}(F) = 0$.

So,

1. $\textrm{Char}(F) = p$ $\implies$ $\mathbb{Z}_p \cong H \le F$.

2. $\textrm{Char}(F) = 0$ $\implies$ $\mathbb{Q} \cong H \le F$.

$\mathbb{Z}_p$와 $\mathbb{Q}$ 모두 Field다!!

즉, Field의 $\textrm{Char}(F)$를 통해 내부에 어떤 sub-field을 가지고 있음을 대략적으로 확인할 수 있다는 말이다!

proof.

$\mathbb{Z}_n$이 Field가 되는 경우는 $n = p$ (prime) 뿐이다.

Definition.

$\mathbb{Z}_p$ and $\mathbb{Q}$ are called a “Prime Field”.