Modern Algebra I - PS3

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

The Norm function $N$ would be complex modulus $|\cdot |$ square.

1. Check $N$ is integer valued on $\mathbb{Z}[\zeta ]$.
2. The Division Algorithm works.

(1) $N$ is integer valued.

$\zeta$는 root of unity 중 하나 이므로 아래가 성립한다.

• ${\zeta }^3=1$
• ${\zeta }^2=1-\zeta$

따라서 $\mathbb{Z}[\zeta ]$의 원소는 아래와 같은 형태로 기술된다.

($1$이 $⟨\zeta ⟩$에 포함되어 있기 때문!)

또한, $\zeta =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$이므로, Norm $N$은

따라서 $N$은 integer valued function이다!

(2) Division Algorithm

For $a,b\in \mathbb{Z}[\zeta ]$ and $a\ne 0$, check that there exist $q,r\in \mathbb{Z}[\zeta ]$ s.t.

where $N(r)<N(a)$.

Let $q$ be the closest point to $b/a$ on $\mathbb{Z}[\zeta ]$.

Let $r$ be $r=b-qa$.

Then check that

이때, $|\frac{b}{a}-q|$에 대해 생각해보자.

${\displaystyle \frac{b}{a}}$를 제대로 구하면, ${\displaystyle \frac{b}{a}}=s+t\zeta \in \mathbb{Q}[\zeta ]$이다.

이때 $q$를 ${\displaystyle \frac{b}{a}}$에 가장 가까운 $\mathbb{Z}[\zeta ]$로 설정했으므로

따라서 $|\frac{b}{a}-q|$는

따라서

즉, Division Algorithm이 성립하므로 $\mathbb{Z}[\zeta ]$는 Euclidean Algorithm이다. $◼$

앞선 문제도 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$가 Euclidean Domain임을 보이는 문제였는데, 이번에도 비슷한 문제였다.

문제를 풀고 나서 든 생각은 지금의 패턴을 일반화하면 $\mathbb{Z}[\omega ]$ for any $\omega \in \mathbb{C}$를 Euclidean Domain으로 만들 수 있을지 생각해봤다.

그런데 Euclidean Domain에 대해 검색을 좀 해보니 아래와 같은 조건 아래에서 $\mathbb{Z}[\omega ]$가 Euclidean Domain이 되는 것 같다.

Case 1: $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$

If $n=1$ or $n=2$, then $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ is an Euclidean Domain.

If $n\ge 3$, then $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ is not an Euclidean Domain.

일단 이건 ${\displaystyle \frac{b}{a}}-q$에 대한 Norm을 구해보면, ${\displaystyle \frac{1+n}{4}}$가 나오는데, 이게 ${\displaystyle \frac{1+n}{4}}<1$이 되야 해서 그런 걸로 알고 있다.

Case 2: $\mathbb{Z}[\omega ]$

이 경우에는 $\omega$가 cube root of unity가 될때 Euclidean Domain이 된다.

$\omega$가 cube root of unity가 되는 경우는 $\omega =e^{2\pi i/3}$과 $\omega =e^{4\pi i/3}$이다.

• link

그 외의 경우는 뭔가 직접 ${\displaystyle \frac{b}{a}}-q$를 구해봐야 할 것 같다. 아님 내가 아직 찾지 못한 $\omega \in \mathbb{C}$에 대한 조건이 있을 수도?