Complex Analysis - Basic

2020-2학기, 대학에서 ‘응용복소함수론’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

Complex Functions

A function $f$ defined on $S \subset \mathbb{C}$ is a rule that assigns to each $z \in S$ to a complex number $w$.

\[f: S \longrightarrow \mathbb{C}\]

Example.

• $f(z) = \frac{1}{z}$, $z \ne 0$
• $f(z) = z^2$

복수 함수는 정의역도 2차원이고, 공역도 2차원이기 때문에 하나의 그래프에 visualization 하는 것이 불가능함!!

복소 함수는 real-part와 imaginary-part를 각각 두 개의 real-valued function으로 분리해 표현할 수도 있음.

\[f(z) = u(x, y) + i v(x, y)\]

Example.

$f(x) = z^2$, $z = x + iy$

-> $(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)$

복소 함수를 polar coordinate로 표현할 수도 있음!

\[f(z) = u(r, \theta) + i v(r, \theta)\]

Example.

$f(z) = z^2$, $z = r e^{i\theta}$

-> ${r^2}e^{2\theta} = r^2 \cos 2\theta + i (r^2 \sin 2\theta)$

복소 함수의 경우, 몇몇 경우에서는 “multi-valued relation”이 유도될 수 있음.

예를 들면,

함수 $f(z)$가 $f(z) = z^{1/2}$라면,

\[z^{1/2} = \pm \sqrt{r} \exp {(i\theta / 2)}\]

가 된다.

즉, $f(z) = z^{1/2}$에 대해서는 하나의 복소수 $z$에 대해 두 개의 함숫값 $f(z)$이 존재할 수 있다는 것이다.

이렇듯, 몇몇 복소 함수는 “multi-valued relation”을 보이기도 하는데, 보통은 multi-valued relation을 single-valued relation으로 적절히 restriction하여 해결한다.

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Complex Limit

As $z$ approaches to $z_0$, $f(z)$ approaches to $w_0$.

\[\lim_{z \rightarrow z_0} {f(z)} = w_0\]

실수 함수에서의 극한은 “$\epsilon$-$\delta$ 논법”에 의해 정의가 되었다. 복소 함수에서의 극한 역시 “$\epsilon$-$\delta$ 논법”을 사용한다.

For each $\epsilon > 0$, there is $\delta$ such that

\[\left| f(z) - w_0 \right| < \epsilon \quad \textrm{whenever} \quad 0 < \left| z - z_0 \right| < \delta\]

즉, 공역 위에서 어떤 $\epsilon$을 잡더라도, 정의역에서 위의 부등식을 만족하는 적절한 $\delta$를 잡을 수 있다는 것을 말한다.

단, 극한이 존재하지 않는 경우도 있다. 이 경우는 아래와 같이 묘사한다.

“There exist a sequence $(z_n) \quad (z_n \ne z_0)$ s.t. $z_n \rightarrow z_0$ but $\left| f(z_n) \rightarrow w_0 \right| \ge \epsilon > 0$ for some $\epsilon$”

즉, $z_n$이 아무리 $z_0$에 가깝게 다가가도 $f(z_n)$와 $w_0$ 사이에 적어도 $\epsilon$ 만큼의 간격이 존재하는 것이다!

또 다르게 표현하자면, 극한이 존재할 때는 ‘모든’ $\epsilon$에 대해 부등식을 만족하는 $\delta$를 찾을 수 있지만, 극한지 존재하지 않을 때는 ‘어떤’ $\epsilon$에 대해선 부등식을 만족하는 $\delta$를 찾을 수 없다는 말이기도 하다!

Example.

(1) $f(z) = 2 \overline{z}$, $\lim_{z \rightarrow i} f(z) = ?$

\[\begin{aligned} \left| f(z) - f(i) \right| &= \left| 2\overline{z} - 2 \overline{i} \right| \\ &= \left| 2z - 2i \right| \\ &= 2 \left| z - i \right| \end{aligned}\]

So, $\left| f(z) - f(i) \right| < \epsilon$ when every $\left| z - i \right| < \frac{\epsilon}{2}$.

(2) $f(z) = \frac{z}{\bar{z}}$, $\lim_{z \rightarrow 0} f(z) = ?$

• (i) Let $z = x$, $f(z) = \frac{x}{x} = 1$
• (ii) Let $z = iy$, $f(z) = \frac{iy}{-iy} = -1$

서로 다른 방향에서의 얻는 극한값이 일치하지 않기 때문에 극한이 존재하지 않는다.

Theorem 1. When a ‘limit’ of a function $f(z)$ exists at a point $z_0$, then it is unique.
(극한값이 2개가 될 수 없다.)

Theorem 2. $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$, $z_0 = x_0 + i y_0$, $w_0 = u_0 + i v_0$.

\[\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} u(x, y) = w_0, \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} v(x, y) = u_0 \iff \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = w_0\]

즉, real & imaginary part가 각각 극한을 가지면, $f(z)$도 극한을 가지며 그 값은 위와 같다.

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Complex Continuity

$f(z)$ is continuous at $z_0$ if “$f(z_0)$ is defined” and “$\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)$”.

For each $\epsilon > 0$, there exist $\delta$ such that

\[\left| f(z) - f(z_0) \right| < \epsilon \quad \textrm{whenever} \quad \left| z - z_0 \right| < \delta\]

Any polynomial $P(z)$ is continuous everywhere.

Theorem 1. A composition of continuous functions is continuous.

Theorem 2. $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$, $z_0 = x_0 + i y_0$.

$f(z)$ is continuous at $z_0$

$\iff$ $u(x, y)$ and $v(x, y)$ are conti. at $(x_0, y_0)$.

Theorem 3. Let $R$ be a closed and bounded set.

Supp. that $f$ is “continuous” on $R$.

Then there exist $M$ such that

\[\left| f(z) \right| \le M \quad \textrm{for all} \;\; z \in R\]

“Theorem 3”은 복소 평면에서의 “최대-최소 정리”라고 볼 수 있다!

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Complex Derivatives

The derivative of $f$ at $z_0$ is the limit

\[f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {\frac{f(z) = f(z_0)}{z-z_0}}\]

The function $f$ is said to be “differentiable” when $f’(z_0)$ exists.

NOTE: differentiable $\ne$ analytic

Analytic Functions

• $f(z)$ is analytic in an open set $S$, if $f(z)$ is differentiable everywhere in $S$.

• $f(z)$ is analytic at $z_0$, if $f(z)$ is analytic in some neighborhood of $z_0$.

• An entire function is a function that is analytic at each point in the entire complex plane.

• Polynomials are entire functions.

\[P(z) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_n z^n\]

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• Rational function

\[f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)} \quad (P, Q: \quad \textrm{polynomials})\]

Rational functions are analytic except at the points where $Q(z) \ne 0$.