Contour Integrals

2020-2학기, 대학에서 ‘응용복소함수론’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

Complex Contour

\[\int_{C} f(z) dz\]

• $f(z)$: a complex function
• $C$: a curve in a complex plane

실수 영역 $\mathbb{R}^2$에서의 contour는 $\vec{r}(t)=(x(t), y(t))$와 같이 parametrized 하여 표현했다.

그런데, 복소 영역 $\mathbb{C}$에서의 contour는 $z(t) = x(t) + i y(t)$와 같이 표현한다. $\mathbb{R}^2$에서와 ‘거의’ 비슷하다.

derivatives and integrals

Let define $w(t)$ as $w(t) : [a, b] \rightarrow \mathbb{C}$

\[w(t) = u(t) + i v(t)\]

Then,

1. derivatives

\[w'(t) = u'(t) + i v'(t)\]

2. integrals

\[\int^{b}_{a} w(t) dt = \int^{b}_{a} u(t) dt + i \int^{b}_{a} v(t) dt\]

parametric curves

A parametrized curve is a continuous function $z(t): [a, b] \rightarrow \mathbb{C}$.

1. smooth: “$z’(t)$ exists” and “is continuous” on $[a, b]$, and “$z’(t) \ne 0$”.

2. piecewise smooth: 생-략

3. closed: $z(a) = z(b)$

4. simple: if $t \ne s$, $z(t) \ne z(s)$

5. positive orientation: counter clockwise

equivalent contour

For two curves $z_1(t)$, $z_2(t)$,

\[z_1(t): [a, b] \rightarrow \mathbb{C}, \quad z_2(t): [c, d] \rightarrow \mathbb{C}\]

are equivalent, if there is a function $t(s)$

\[s \rightarrow t(s): [c, d] \rightarrow [a, b]\]

so that $t’(s) > 0$ and $z_2(s) = z_1(t(s))$.

(cf) $t’(s) > 0$ 조건이 필요한 이유는, 만약 $t’(s) < 0$라면, 두 커브의 움직이는 방향이 달라지게 된다. 또한, 만약에 $t’(s) = 0$이라면, ${z_2}’ = {z_1}’ \frac{dt}{ds}$에서 $\frac{dt}{ds} = 0$이 되어서 올바른 값을 얻지 못하게 된다. (흠… 설명이 매끄럽지 못하네 ㅠㅠ)

Length of curve $C$

\[\begin{aligned} \textrm{length of } C &= \int^{b}_{a} \left| z'(t) \right| dt \\ &= \int^{b}_{a} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt \end{aligned}\]

참고로, 이때 curve의 길이는 parametrization function에 의존하지 않는다. 즉, parameterization이 달라도 같은 길이를 가질 수 있다는 말이다.

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Contour Integrals

Let $C$ be a smooth curve parametrized by $z(t): [a, b] \rightarrow \mathbb{C}$.

Then, the integral of $f$ along a curve $C$ is

\[\int_{C} f(z) dz = \int^{b}_{a} f(z(t)) z'(t) dt\]

이때, “curve $C$에 대한 함수 $f$의 contour 적분은 curve $C$의 parametrization에 의존하지 않는다.” 즉, equivalent curve에 대한 적분을 동일한 결과를 뱉는다는 말이다.

Existence of Contour Integral

“If $f$ is continuous, then $\int_{C} f(z) dz$ exists”

proof.

$f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y)$

$z(t): [a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ is a parametized curve $C$.

Then

\[\begin{aligned} \int_{C} f(z) dz &= \int^{b}_{a} \left[ u(x(t), y(t)) + i v(x(t), y(t)) \right] \left( x'(t) + i y'(t) \right) dt \\ &= \int^{b}_{a} (ux' - vy') + i (uy' + vx') dt \\ &= \int^{b}_{a} (ux' - vy') dt + i \int^{b}_{a} (uy' + vx') dt \end{aligned}\]

이때, $ux’ - vy’$ 그리고 $uy’ + vw’$가 continuous function이기 때문에 실수에서의 적분에 대한 유일성에 의해 Contour Integral on Complex Plane의 적분도 존재한다! $\blacksquare$