complex primitive function & ML-inequality

2020-2학기, 대학에서 ‘응용복소함수론’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

Example.

\[\int_{C} \frac{1}{z} dz\]

If $C: \left| z \right| = 1$, then (준식) = $2\pi i$.

이걸 확장하면,

\[\int_{C} \frac{1}{(z-z_0)^m} dz, \quad (m=1, 2, ...)\]

where $C: z(t) = z_0 + r e^{it}$ with $0 \le t \le 2\pi$.

If $m=1$, (준식) = $2\pi i$

If $m \ne 1$, (준식) = 0

(실제로 계산해보면, 저렇게 나옴!!)

Integrals of primitive functions

<미적분의 기본정리 Fundamental thm of Calculus>에 따르면,

\[\int^{b}_{a} f(x) dx = F(b) - F(a)\]

이다.

이것을 복소 적분에도 적용해보자.

\[\begin{aligned} \int_{C} f(z) dz &= \int^{b}_{a} f(z(t))) \cdot z'(t) dt \\ &= \int^{b}_{a} \frac{d}{dt} [F \circ z(t)] dt \\ &= F(z(b)) = F(z(a)) \end{aligned}\]

Definition.

Let $D$ be an open set in $\mathbb{C}$.

$f(z)$ is called a primitive function in $D$,
if it is continuous in $D$, and there is an analytic function $F(z)$ s.t.

\[F'(z) = f(z) \quad \textrm{in} \quad D\]

Theorem.

Let $f(z)$ be a primitive function in a domain $D$ with $F’(z) = f(z)$.

Let $C$ be a smooth curve in $D$ that begins at $z_1$ and ends at $z_2$.

Then

\[\int_{C} f(z) dz = F(z_2) - F(z_1)\]

즉, primitive function에 대해선 적분이 시작과 끝점에 의해서만 결정된다는 것!!

Corollary.

Let $C$ be a smooth closed curve in $D$.

Let $f$ be a primmitive function on $D$.

Then

\[\oint_{C} f(z) dz = 0\]

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ML-inequality

ML-inequality는 적분의 절댓값의 상한을 계산하게 하는 아주아주아주 좋은 도구다!!

Theorem.

Let $L$ be the length of $C$.

If $\left| f(z) \right| \le M$ for all $z \in C$,

then

\[\left| \int_{C} f(z) dz \right| \le ML\]

얼핏 보면, 미적분학의 중간값 정리와 비슷하다.

\[\left| \int^{b}_{a} f(x) dx \right| \le M(b-a)\]

$M = \textrm{sup} \left| f(x) \right| \quad x \in (a, b)$

proof.

\[\begin{aligned} \left| \int_{C} f(z) dz \right| &= \left| \int^{b}_{a} f(z(t)) \frac{dz}{dt} dt \right| \\ &\le \int^{b}_{a} \left| f(z(t)) \right| \left| \frac{dz}{dt} \right| dt \\ &\le M \cdot L \end{aligned}\]