Cauchy-Goursat Theorem

2020-2학기, 대학에서 ‘응용복소함수론’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

February 21, 2021 3 minute read

2020-2학기, 대학에서 ‘응용복소함수론’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

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Theorem. The Cauchy-Goursat Theorem

If $f (z)$ is analytic in s imply connected domain $D$ ,

then for every simple closed contour $C$ in $D$ ,

\oint_{C} f (z) d z = 0

복소함수론에서 정말 아주아주아주 중요하고, 유용한 정리이다!! 🔥

Definition. Connected domains

doubly connected domain에서는 어떤 contour $C$ 에 대해, $Int C \notin D$ 가 된다.

Cauchy’s proofPermalink

Theorem. Cauchy’s Theorem

If $f (z)$ is analytic in a simply connected domain $D$ , and $f^{'} (z)$ is continuous in $D$ ,

then for every simple closed contour $C$ in $D$

\oint_{C} f (z) d z = 0

Cauchy의 정리에는 “ $f^{'} (z)$ 이 continuous”라는 조건이 붙는다. Cauchy는 이를 이용해 적분을 2차원의 real integral로 바꾸어 접근한다.

Theorem. Green’s Theorem

만약 $Q_{x}$ , $P_{y}$ 가 연속 함수라면,

\oint_{C} (P d x + Q d y) = \int \int_{R} (Q_{x} - P_{y}) d A = \int \int_{R} (Q_{x} - P_{y}) d x d y

Green’s Theorem을 이용해 Cauchy’s Theorem을 증명해보자.

proof.

\begin{aligned} f (z) & = f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y), \\ z (t) & = x (t) + i y (t), a \leq t \leq b \end{aligned}

\begin{aligned} \oint_{C} f (z) d z & = \int_{a}^{b} (u + i v) (x^{'} + i y^{'}) d t \\ = \int_{a}^{b} (u x^{'} - v y^{'}) + i (u y^{'} + v x^{'}) d t \end{aligned}

위의 식에서 실수 부분만 분리해서 생각해보자.

\int_{a}^{b} (u x^{'} - v y^{'}) d t

이때, $x^{'} d t$ 를 $d x$ 로 취급해 식을 다시 쓰면 아래와 같다.

\int_{C} (u d x - v d y)

이것은 Green’s Thm의 $P d x + Q d y$ 의 꼴이다. 따라서 Green’s Thm을 적용하면,

\int_{C} (u d x - v d y) = \int \int_{R} (- v_{x} - u_{y}) d A

이때, $f (z)$ 가 analytic 함수이므로, Cauchy-Riemann에 의해 $u_{y} = - v_{x}$ 다. 따라서 “(준적분) = 0”

동일한 방식으로 허수부에 대해서도 “(준적분) = 0”이라는 결과를 얻는다.

따라서

\oint_{C} f (z) d z = 0

$◼$

Goursat’s proofPermalink

Cauchy’s Thm은 analytic function의 적분에 대해 좋은 결과를 보여준다. 하지만, Cauchy’s Thm에서 가정한 “ $f^{'} (z)$ is continuous”라는 조건이 추가되었기 때문에, analytic function의 성질을 설명하는 데에 충분치 않았다.

Édouard Goursat은 Cauchy’s Theorem의 continuous 조건을 제거하고 증명을 완성한다.

Theorem. Goursat’s Theorem

Let $D$ be an open set in $C$ .

Let $T$ be triangle such that $T$ and its interior lie in $D$ .

If $f (z)$ is analytic in $D$ , then

\oint_{T} f (z) d z = 0

증명이 너무 길어서 파일로 대체합니다!!

Goursat proof

Seokyun Ha (aka. bluehorn07)

Cauchy-Goursat Theorem

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