칸토어 집합

정의

닫힌 구간 $[0, 1]$을 3등분 하자. 가운데인 $(1/3, 2/3)$ 구간을 제거한다. 1/3 길이의 남은 두 구간에 대해서도 같은 작업을 하여 가운데 구간을 제거한다. 이 과정을 무한번 반복한다.

길이

칸토어 집합을 만들 때, 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는 $1/3$, $2/9$, $4/27$, … 만큼씩 제거된다. 이것을 모두 합하면 아래와 같다.

\[\sum_{n=1}^{\infty} = \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{1-2/3}\right) = 1\]

이 된다. 즉, 칸토어 집합의 길이는 초기 길이 $1$에서 제거된 구간의 길이 $1$을 빼서 $0$이 된다.

그러나 칸토어 집합의 원소의 갯수는 구간 $[0, 1]$, 즉 실수 전체 $\mathbb{R}$과 같다. (추후에 증명 예정.) 즉, 길이는 $0$인데, 집합 크기는 $\mathbb{R}$인 반직관적인 상황이 발생한다.

집합의 크기

(추후에 집합론 과목을 다시 볼 때 정리해보겠습니다…)