Poincarรฉ Map
๋ณต์์ ๊ณตํ๊ณ ์๋ ์ํ๊ณผ์ ์กธ์ ์ํ์ ์ํด ํ๋ถ ์ํ ๊ณผ๋ชฉ๋ค์ ๋ค์ ๊ณต๋ถํ๊ณ ์์ต๋๋ค๋งโฆ ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์์ ์กธ์ ์ํ ๋์ ๊ณผ๋ชฉ์ด ์๋๋ผ๋ ๊ฑธ ๋์ค์ ์๊ฒ ๋์์ต๋๋คโฆ OTLโฆ ๊ทธ๋๋ ์ด์ ์์ํ ๊ฑฐ ๋ค์ ๋ณต์ต ์ข ํด๋ด ์๋ค! ๐ ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์ ํฌ์คํธ ์ ์ฒด ๋ณด๊ธฐ
์ ๋ด์ฉ์ ํ๋ถ 2ํ๋
์ ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์(Math2xx
) ์์
์ด ์๋๋ผ ํ๋ถ 4ํ๋
์ ์๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์๋ก (Math4xx
)์์ ๋ค๋ฃฌ ๋ด์ฉ์
๋๋ค.
Express ODE with initial value
์๊ฐ $t$์ ์์กดํ๋ ์ด๋ค ํจ์ $x(t)$๋ฅผ ์๊ฐํด๋ณด์. ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ์ด ํจ์ $x(t)$๋ ODE๋ฅผ ๋ง์กฑํ๋ค. ์๋ฅผ ๋ค์ด ์๋์ ๊ฐ์ ํํ์ผ ์ ์๋ค.
- $xโ = a x$: exponential growth/shrinking
- $xโ = x(1-x)$: logistic population model
๋๋ถ๋ถ์ ODE์ ํด $x(t)$๊ฐ ๊ทธ๋ ๋ฏ ์ด๊ธฐ๊ฐ $x_0$์ ๋ฐ๋ผ์ ํจ์์ ์์์ด ๋ฌ๋ผ์ง ์ ์๋ค.
์๋ฅผ ๋ค์ด, logistic population model์์๋ ์ด๊ธฐ ์ธ๊ตฌ ๊ฐ์ด $0 < x_0 < x_1$๋ผ๋ฉด, ์ธ๊ตฌ ํ๊ณ $x_1$๋ฅผ ํฅํด ์ฆ๊ฐํ๊ณ , $x > x_1$ ์๋ค๋ฉด ์ธ๊ตฌ ํ๊ณ๋ฅผ ํฅํด ์ธ๊ตฌ๊ฐ ๊ฐ์ํ๋ค.
์ง๊ธ๊น์ง ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์์์๋ solution function์ ํํํ ๋, $x(t) = c_1 e^{\lambda t} + \cdots$์ ๊ฐ์ด ํํํ๊ณ , $c_1$๊ณผ ๊ฐ์ ๊ณ์๊ฐ์ ์ด๊ธฐ๊ฐ $x_0$์ ๋์ ํด ๊ตฌํ๋ ๋ฐฉ์์ผ๋ก ๋์ํ๋ค.
๊ทธ๋ฌ๋, ์ด์ ๋ ์๊ฐ $t$์ ์ด๊ธฐ๊ฐ $x_0$์ ๋ชจ๋ ๊ณ ๋ คํ solution function๋ฅผ ์๋์ ๊ฐ์ด ์ ์ํด ์ฌ์ฉํ๊ณ ์ ํ๋ค. ์ด๊ฒ์ ์ฐ๋ฆฌ๊ฐ ์์์ ์ดํด๋ณธ Logistic Model์ Solution Graph๋ฅผ ํจ์๋ก ์ฎ๊ธด ๊ฒ์ด๋ผ๊ณ ๋ณด๋ฉด ๋๋ค.
- It represents an point on solution graph.
- It means the value of the system when it starts from $x_0$ and time $t$ flows.
- Sometimes we write this function as $\phi_t (x_0)$.
Poincare Map
์์ Population Model์ ๊ทธ๋ ์ง ์์์ง๋ง, ์ด๋ค ๊ฒฝ์ฐ์๋ ODE ํจ์๊ฐ ์ด๋ค ์ฃผ๊ธฐ์ฑ์ ๊ฐ์ง๊ณ ์์ ์๋ ์๋ค.
- $xโ = ax - h (1 - \sin (\omega t))$
- $xโ = x(1-x) - h (1 - \sin (\omega t))$
์ด๋, ์ด๊ธฐ๊ฐ $x_0$์์ ์ฃผ๊ธฐ $\omega$ ๋งํผ ์๊ฐ์ด ์ง๋ ํ์ ํจ์๊ฐ $\phi(\omega, x_0)$๋ฅผ โPoincare Mapโ๋ผ๊ณ ์ ์ํ๋ค.
[Poincare Map]
\[P(x_0) = \phi(\omega, x_0)\]the value of the solution when one period $\omega$ has left.
๋ง์ฝ, ์ด๊ธฐ๊ฐ $x_0$๊ฐ fixed point(or equilibrium point)๋ผ๋ฉด, ์๋์ ๊ฐ์ ์์ด ์ฑ๋ฆฝํ๊ฒ ๋๋ค.
\[P(x_0) = \phi(\omega, x_0) = x_0 = \phi(0, x_0)\]The key idea is to look at the fate of an arbitrary initial value $x_0$ after one period.
์์ ๊ทธ๋ฆผ์ ์ฃผ๊ธฐ๋ฅผ $\omega = 1$๋ผ๊ณ ํ์ ๋์ Poincare Map์ ๊ทธ๋ฆฐ ๋ชจ์ต์ด๋ค. ๊ฐ๊ฐ์ ์ด๊ธฐ๊ฐ์์ ์์ํด ์ฃผ๊ธฐ๊ฐ ์ง๋ ๋๋ง๋ค ํจ์๊ฐ์ด ์ด๋ป๊ฒ ๋ณํํ๋์ง๋ฅผ ํ์ ํ๊ธฐ ์ฝ๋ค.
Orbit
์ ์ํ ๊ฒ์ Poincare Map๋ ์ฌ์ ํ ํจ์์ด๋ค. ๊ทธ๋์ ์ด๊ฒ์ ์ด๋ค ์ด๊ธฐ๊ฐ $x_0$์ ๋ํด ์ฌ๋ฌ๋ฒ ์ ์ฉํ ์ ์๋ค.
\[x_0 \rightarrow P(x_0) \rightarrow P(P(x_0)) \rightarrow P(P(P(x_0))) \rightarrow \cdots\]์ฐ๋ฆฌ๋ ์ด๋ ๊ฒ ์ด๋ค ์ $x_0$์์ ์์ํด Poincare Map์ ์ ์ฉํ ๋ชจ๋ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ๋ชจ์์ ์งํฉ์ ์ ์ํ ์ ์๋๋ฐ, ์ด๋ฅผ โOrbitโ๋ผ๊ณ ๋ถ๋ฅธ๋ค.
์ด๋, ์งํฉ Orbit์ ์ ํ ํฌ๊ธฐ์ผ ์๋ ์๊ณ , ๋ฌดํ ํฌ๊ธฐ๋ฅผ ๊ฐ์ง ์๋ ์๋ค. ๋ง์ฝ Poincare Map์ด ์ด๋ค ์ด๊ธฐ๊ฐ์ ๋ํด $P^n(x_0) = x_0$ํ๋ ์ฑ์ง์ ๊ฐ์ง๊ณ ์๋ค๋ฉด, ๊ทธ Orbit์ ์ ํ ์งํฉ์ผ ๊ฒ์ด๊ณ ๊ทธ ํฌ๊ธฐ๋ $n$์ผ ๊ฒ์ด๋ค. ๋ฐ๋๋ก $P^n(x_0) = x_0$๋ฅผ ๋ง์กฑํ๋ ์์ฐ์ $n$์ด ์๋ค๋ฉด, Orbit์ ์์๋ ๋ฌดํํ ๋ง์ ๊ฒ์ด๋ค.
์ง๊ธ์ ๊ทธ๋ฅ ์งํฉ์ ๋ํ ์ ์๋ง ํ๊ณ ๋์ด๊ฐ์ง๋ง, ๋ค์ โDynamical Systemsโ์ ๋ํด ์ดํด๋ณผ ๋ ํ๋ฒ๋ ๋ง๋๊ฒ ๋ ๊ฒ์ด๋ค ใ ใ ์ง๊ธ์ ๊ทธ๋ฅ ๋ถ๋ ์ฑ์ฐ๊ธฐ ์ํด ์ ์ ๊ฒ ใ ใ
On the view of trajectory
์๊ฑด Poincare Map์ ์ดํดํด๋ณด๋ ค๊ณ , ์ธํฐ๋ท์ ๋ ๋๋ค๊ฐ ๋ฐ๊ฒฌํ ์์์ธ๋ฐ, ์๋ฐํ ์ ์ ์์ด ๊ทธ๋ฆผ์ ํตํด Poincare Map์ด ๋ญ์ง ์ค๋ช ํ๊ณ ์๋ค. ๋จ์ํ๊ฒ ์๊ฐํ๋ฉด, ์ด๋ค Curve์ Trajectory๊ฐ ๋ง๋๋ ์ง์ $x_k$๊ฐ ์๊ณ , ๊ทธ ์ ์์ ์ถ๋ฐ ํ์ ๋ ๋ค์์ ๋ง๋๋ ์ง์ ์ $P(x_k) = x_{k+1}$๋ก ์ ์ํ๋ค๋ ์ปจ์ ์ด๋ค.
์์์์๋ ์ฃผ๊ธฐ $\omega$์ ๋ํ ์ธ๊ธ์ด ์ ํ ์๋๋ฐ, ์๋ง Curve $\Sigma$๊ณผ ๊ถค์ ์ด ๋ง๋๋ ์๊ฐ์ ํ ์ฃผ๊ธฐ๋ฅผ ๋์ ๊ฒ์ผ๋ก ํ ๊ฒ ๊ฐ๋ค. 4ํ๋ ๋ฏธ๋ฐฉ ์์ ๋๋ ์ด๋ฐ ๊ด์ ์ ์ฑํํ์ง๋ ์์ง๋ง, ๊ถค์ ์ ๋ถ์ํจ์ ์์ด์๋ ํฅ๋ฏธ๋ก์ด ๊ด์ ์ธ ๊ฒ ๊ฐ๋ค.