Dense Set

복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다만… 미분방정식은 졸업시험 대상 과목이 아니라는 걸 나중에 알게 되었습니다… OTL… 그래도 이왕 시작한 거 다시 복습 좀 해봅시다! 🏃 미분방정식 포스트 전체 보기

들어가며

상미방 수업에서 갑자기 등장한 집합에 대한 내용이다. 뭔가 집합론 수업 때 했던거랑 좀 비슷한 느낌??

Open Set

먼저 열린 집합에 대해 살펴보자.

어떤 집합 $U \subset \mathbb{R}^n$이 열린 집합이라고 하면 아래를 만족한다.

For any $X \in U$, there exists a $a > 0$ s.t. $\{ Y \in \mathbb{R}^n \; | \; |Y - X | < a \} \subset U$

즉, 그 집합 안에 속하는 어떤 점이 있을 때, 그 주변으로 반지름 $a$인 공(ball)에 속하는 모든 점들이 집합 $U$에 속하는 경우를 말한다.

뭔가 상상이 잘 안 될 수도 있는데, 그러면 반대로 닫힌 집합을 떠올리면 된다. 닫힌 집합의 경게에 있는 점을은 반지름 $a$를 아무리 작은 $\epsilon > 0$으로 잡아도, 집합 $U$에 속하지 않는 공의 일부가 항상 존재한다.

암튼 수학적으로 엄밀한 정의는 요렇게, 대충 “어떤 점 $X \in U$에 대해 그 점과 충분히 가까운 점들이 모두 $U$에 포함된다”는 식으로 이해하면 된다.

Dense Set

조밀 집합은 열린 집합의 정의에서 어떤 반지름 $a$가 아니라 모든 반지름에 대해 $\epsilon > 0$아래 조건을 만족해야 한다. 그리고 점 $X$도 해당 집합을 포함해 $\mathbb{R}^n$ 전체에 대해 잡아야 한다.

어떤 집합 $U \subset \mathbb{R}^n$이 조밀 집합이라고 하면 아래를 만족한다.

For any $X \in \mathbb{R}^n$ and for any $\epsilon > 0$ s.t. $\{ Y \in \mathbb{R}^n \; | \; |Y - X | < \epsilon \} \subset U$

예를 들어, 유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 실수 공간 $\mathbb{R}$에서 조밀한 집합에 속한다. 임의의 실수에 대해, 그 점에 임의의 거리 만큼 가까운 유리수가 항상 존재한다는 의미이다.

마찬가지로 무리수 집합 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 역시 실수 공간에서 조밀한 집합이다.

또, 아래와 같은 집합도 $\mathbb{R}^2$ 공간에서 조밀 집합이다.

\[\left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \; \\| \; x, y \in \mathbb{Q} \right\}\]

이것은 두 좌표가 모두 유리수인 점은, 그 점에 임의의 거리 만큼 가까운 유리수 좌표를 가진 다른 점이 항상 존재한다는 것을 말한다.

반면에, 요런 집합은 조밀 집합이 아니다.

1. $S = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^n \; | \; x^2 + y^2 < 1 \}$
2. $\mathbb{R}^2 \setminus S$

1번 집합이 안 되는 이유는 $S$ 바깥에 있는 많은 points에 대해 dense 조건을 만족하지 않기 때문이다.

2번 집합은, 1번 집합보다는 영역이 넓지만 dense 하지는 않다. 그 이유는, $x \in S$에 대해서 $\epsilon < 1$ 범위보다 가까운 points를 못 찾기 때문이다.

암튼 조밀 집합은 진짜 촘촘해야 한다. 공간 상에 구멍이 하나 밖에 없으니 조밀하겠네?라고 생각할 순 없다 ㅋㅋ

Open and Dense Set

열린 집합이면서 동시에 조밀한 집합도 존재할 수 있다.

\[V = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \; \\| \; xy \ne 1 \right\}\]

• 열린 집합
  • $xy = 1$이라는 특정 곡선을 제외한 모든 점으로 구성되어 있는 열린 집합
• 조밀 집합
  • 임의의 작은 구간 내에 $xy = 1$을 제외한 점들이 항상 존재합니다.

$\mathbb{R}^n$의 부분집합으로 정의된 열린 집합이자 조밀한 집합은 재밌는 성질을 하나 가진다. 집합 $U$가 열립 집이자 조밀한 집합이라고 하자. 그리고, 그것의 complement 집합을 생각해볼 수 있다: $U^C$

그러면, $x \in U^C$에 속하는 점들은 $U$에 속한 점 $y$으로 무한히 가까이 근사할 수 있습니다(approximated arbitrarily closed). 즉, $x \rightarrow y$, 거의 $x$나 다름 없는 $y$가 집합 $U$에 항상 존재합니다.

그러나 반대로, 집합 $U$에 속하는 점은 complement 집합에 속하는 점 $x$로 무한히 가깝게 근사할 수 없습니다. 그 이유는 어떤 $y \in U$를 잡아도, 그 $y$보다 $x$에 더 가까운 점을 항상 잡을 수 있기 때문입니다.

Intersections of Dense Set is also a Dense Set

유한 개의 open and dense 집합이 있다고 하자: $V_1, …, V_m \subset \mathbb{R}^n$, 그러면 이들을 모두 교집합한 집합 $V$도 역시 open and dense이다.

\[V = V_1 \cap V_2 \cap \cdots \cap V_m\]

정리를 얼핏 보면, “조밀한 것들은 항상 서로 공통되는 점들이 존재한다”라고 해석하고 넘어갈 수도 있다 ㅋㅋ 그런데, 조밀하다라는 성질을 조금 다르게 설명하면 아래와 같다.

집합 $V$가 조밀하다는 것은 임의의 열린 집합 $U \subset \mathbb{R}^n$에 대해서 $U \cap V \ne \emptyset$임을 의미한다.

즉, 어떤 열린 집합을 잡아도, 그 집합에 속하는 점을 조밀 집합에서 찾을 수 있음을 의미한다. 그리고 조밀 집합은 열린 부분을 절대 “비워 두지 않고” 적어도 한 점은 무조건 들어가게 보장한다.

이것을 이용해 위의 정리의 증명을 전개한다.

먼저, 어떤 임의의 열린 집합 $U \subset \mathbb{R}^n$를 잡는다. 그리고, 이 집합을 열리고 조밀한 집합 $V_1$과 교집합 하면, $U \cap V_1$은 non-empty이다. (이유는 위에서 서술 했음!) 그리고 $U$와 $V_1$이 둘다 Open 집합이므로, 그것의 교집합인 $U \cap V_1$도 Open 집합이다.

$U \cap V_1$이 open & non-empty인 집합이므로 이걸 다시 $V_2$ 집합과 교집합 하면… 또 open & non-empty인 집합을 얻는다. 이걸 유한번 반복하면…

\[U \cap V_1 \cap \cdots \cap V_m = U \cap (V_1 \cap \cdots \cap V_m) = U \cap V\]

즉, $U \cap V$가 open & non-empty set이 된다. 이것은 결국 집합 $V$가 조밀 집합임을 말한다. $\blacksquare$