Function Spaces, Compactness, Differential on Vector Field.

5 minute read

λ³΅μˆ˜μ „κ³΅ν•˜κ³  μžˆλŠ” μˆ˜ν•™κ³Όμ˜ ν•™λΆ€ μ‘Έμ—…μ‹œν—˜μ— 미뢄방정식이 μžˆλŠ” 쀄 μ•Œκ³ , μ‹œν—˜ 쀀비도 ν•  κ²Έ 볡학할 λ•Œ β€œμƒλ―ΈλΆ„λ°©μ •μ‹β€ κ³Όλͺ©μ„ μ‹ μ²­ν–ˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€. λ‚˜μ€‘μ— μ•Œκ³ λ³΄λ‹ˆ 미뢄방정식은 μ‘Έμ—…μ‹œν—˜ κ³Όλͺ©μ΄ μ•„λ‹ˆμ—ˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€β€¦ OTL… κ·Έλž˜λ„ 이왕 μ‹œμž‘ν•œ 것 ν¬κΈ°λž€ μ—†μŠ΅λ‹ˆλ‹€!! πŸ’ͺ 으랏차!! 상미뢄방정식 포슀트 전체 보기

λ“€μ–΄κ°€λ©°Permalink

κ²½κ³ ν•˜λŠ”λ° μ—¬κΈ°μ„œλΆ€ν„° μ§„μ§œ μ™„μ „νžˆ μƒˆλ‘œμš΄ λ‚΄μš©μž…λ‹ˆλ‹€β€¦;; μ§€κΈˆκΉŒμ§€λŠ” λ―ΈλΆ„λ°©μ •μ‹μ˜ 심화 버전을 ν•˜λŠ” λŠλ‚Œμ΄μ—ˆλ‹€λ©΄, μ—¬κΈ°μ„œλΆ€ν„° μ§„μ§œ MATH4xx κ³Όλͺ©μ˜ μœ„μ—„μ΄ 뭔지 μž‘μ‚΄λ‚˜κ²Œ λŠλ‚„ 수 μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ γ…‹γ…‹

이 μ±•ν„°μ˜ λͺ©ν‘œλŠ” ODE의 solution이 쑴재(Existence)ν•˜κ³  그리고 유일(Uniqueness)ν•˜λ‹€λŠ” 것을 λ³΄μ΄λŠ” κ²ƒμž…λ‹ˆλ‹€. 그런데 μ €λŠ” 감자(πŸ₯”)λ‹ˆκΉŒ κ·Έ μ£Όλ³€ 곁닀리뢀터 닀가가보도둝 ν•˜κ² μŠ΅λ‹ˆλ‹€.

[Existence and Uniqueness의 곁닀리듀]

μˆœμ„œλŠ” μƒκ΄€μ—†μŠ΅λ‹ˆλ‹€.

Function SpacesPermalink

IVT에 λŒ€ν•œ 정리λ₯Ό 보기 전에, λ¨Όμ € μ•„λž˜μ˜ 집합을 μ—„λ°€νžˆ μ •μ˜ν•΄λ΄…μ‹œλ‹€.

C0λŠ” λͺ¨λ“  연속 ν•¨μˆ˜μ˜ μ§‘ν•©μž…λ‹ˆλ‹€. 그리고 C1은 β€œν•œ 번 Continuously Differentiable Functions의 μ§‘ν•©β€μž…λ‹ˆλ‹€.

μ΄λ•Œ, β€œDifferentiable”과 β€œContinuously Differentiableβ€μ˜ μ°¨μ΄λŠ” β€œDifferential”은 λ„ν•¨μˆ˜ fβ€²(x)κ°€ 연속일 ν•„μš”κ°€ μ—†μŠ΅λ‹ˆλ‹€. f(x)=|x| ν•¨μˆ˜λŠ” x=0μ—μ„œ λ„ν•¨μˆ˜κ°€ 연속이지 μ•ŠμŠ΅λ‹ˆλ‹€. λ°˜λ©΄μ— β€œContinuously Differentiableβ€œμΈ κ²½μš°λŠ” λ„ν•¨μˆ˜ fβ€²(x)도 연속을 λ§Œμ‘±ν•©λ‹ˆλ‹€.

이것을 κ·€λ‚©μ μœΌλ‘œ μ •μ˜ν•˜λ©΄, C2λŠ” β€œλ‘ 번 λ―ΈλΆ„ κ°€λŠ₯ν•˜κ³ , fβ€²β€²(x)κ°€ 연속인 ν•¨μˆ˜β€λΌκ³  μ •μ˜ν•  수 있고, CβˆžλŠ” λ¬΄ν•œνžˆ λ―ΈλΆ„ κ°€λŠ₯ν•˜κ³ , λͺ¨λ“  λ„ν•¨μˆ˜λŠ” μ—¬μ „νžˆ λ―ΈλΆ„ κ°€λŠ₯ν•œ ν•¨μˆ˜β€μž…λ‹ˆλ‹€. 즉, 맀우 λΆ€λ“œλŸ¬μš΄ ν•¨μˆ˜μž…λ‹ˆλ‹€.

CompactnessPermalink

(ν•™λΆ€ μœ„μƒμˆ˜ν•™μ΄λ‚˜ ν•΄μ„ν•™μ—μ„œ λ‚˜μ˜€λŠ” κ°œλ…μ΄λΌκ³  ν•˜λŠ”λ°, λ‘˜λ‹€ μˆ˜κ°•ν•œ 적이 μ—†μ–΄μ„œ μ΄λ²ˆμ— 첨 λ΄€μŠ΅λ‹ˆλ‹€;;)

μˆ˜ν•™μ—μ„œ β€œμœ κ³„(bounded)β€œμ˜ κ°œλ…μ„ μΌλ°˜ν™”ν•œ 것이닀. 예λ₯Ό λ“€μ–΄, 2차원 평면 μœ„μ˜ μ›μ΄λ‚˜, 3μ°¨μ›μ˜ ꡬ, ν† λŸ¬μŠ€λŠ” 콀팩트 집합이닀. 이듀은 μ§μ„ μ΄λ‚˜, 평면, 곡간에 λΉ„ν•΄ μ•„μ£Ό μž‘μ€ 집합듀이닀. β€˜μ½€νŒ©νŠΈ(compact)β€™λΌλŠ” 이름은 이런 λ§₯λ½μ—μ„œ 온 것이닀.

1μ°¨μ›μ—μ„œ κ°€μž₯ μ‰½κ²Œ λ– μ˜¬λ¦΄ 수 μžˆλŠ” 콀팩트 집합은 [a,b]βŠ‚R이닀. μ–‘ 끝이 λͺ¨λ‘ λ‹«νžŒ κ΅¬κ°„μž„μ— μœ μ˜ν•˜μž. μœ ν΄λ¦¬λ“œ 곡간 μœ„μ—μ„œ 콀팩트 집합은 λ‹«νž˜μ„±(closed)κ³Ό μœ κ³„μ„±(bounded)만 λ§Œμ‘±ν•˜λ©΄ λœλ‹€.

IF Ξ© is compact and F:Ξ©β†’Rn is continuous,

THEN f is has its maximum/minimum on Ξ©.

μœ„μ˜ μ •λ¦¬μ˜ 사둀λ₯Ό μ‚΄νŽ΄λ³΄λ©΄

  • ꡬ간 [0,1], ν•¨μˆ˜ f(x)=x2
    • μ΅œλŒ€κ°’ 1
    • μ΅œμ†Œκ°’ 0
  • ꡬ간 [0,Ο€], ν•¨μˆ˜ f(x)=cos⁑x
    • μ΅œλŒ€κ°’ 1
    • μ΅œμ†Œκ°’ βˆ’1

μ²˜μŒμ—” 정리가 λ‹Ήμ—°ν•œ 말을 ν•˜κ³  μžˆλ‹€κ³  μƒκ°ν–ˆλŠ”λ°, 생각보닀 λ°˜λ‘€λ₯Ό μ‰½κ²Œ 찾을 수 μžˆλ‹€.

ꡬ간 [βˆ’1,1] μœ„μ—μ„œ μ •μ˜λœ ν•¨μˆ˜ f(x)=1/xλŠ” 이 정리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€. κ·Έ μ΄μœ λŠ” ν•¨μˆ˜κ°€ x=0μ—μ„œ μ •μ˜λ˜μ§€ μ•ŠκΈ° λ•Œλ¬Έμ—, ν•¨μˆ˜μ˜ μ •μ˜μ—­μ΄ [βˆ’1,1]βˆ–{0}이닀. 이 집합은 μ—΄λ¦° μ§‘ν•©μ΄λ―€λ‘œ μ½€νŒ©νŠΈν•˜μ§€ μ•Šλ‹€.

λ§Œμ•½ μ •μ˜μ—­μ„ μ½€νŒ©νŠΈν•˜κ²Œ λ§Œλ“€κΈ° μœ„ν•΄ f(x=0)=a∈R라고 ν•¨μˆ˜κ°’μ„ μž„μ˜λ‘œ μ •μ˜ ν•œλ‹€λ©΄, 이것은 ν•¨μˆ˜ f(x)κ°€ continuousλΌλŠ” 쑰건을 μœ„λ°°ν•˜κ²Œ λœλ‹€. 즉, 생각보닀 β€œμ½€νŒ©νŠΈ 연속 ν•¨μˆ˜β€œλΌλŠ” 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜κΈ° μ–΄λ ΅λ‹€λŠ” 것!

Differential on Vector FieldPermalink

벑터 ν•„λ“œ F:Rnβ†’Rnκ°€ μžˆμ„ λ•Œ, ν•΄λ‹Ή ν•„λ“œμ˜ Differential을 μƒκ°ν•΄λ³΄μž.

λ¨Όμ €, X=(x1,…,xn)의 λ²‘ν„°λ‘œ μ •μ˜λ˜κ³ , F(X)λŠ” F(X)=(f1(X),…,fn(X))둜 μ •μ˜λœλ‹€. 그리고 미뢄을 μ •μ˜ν•˜λ©΄

DFX(U)=limhβ†’0F(X+hU)βˆ’F(X)h

μ΄λ•Œ, UλŠ” μž„μ˜μ˜ λ°©ν–₯ 벑터 μž…λ‹ˆλ‹€. κ³ μ°¨μ›μ—μ„œ 미뢄을 μ •μ˜ν•˜κΈ° μœ„ν•΄μ„œλŠ” λͺ¨λ“  λ°©ν–₯에 λŒ€ν•œ κ·Ήν•œμ„ 확인해야 ν•˜λŠ”λ°, F(X+h)λ₯Ό μ‚¬μš©ν•˜λ©΄, X 벑터에 λŒ€ν•œ λ°©ν–₯λ§Œμ„ νŒλ‹¨ν•˜κ²Œ 되기 λ•Œλ¬Έμ— F(X+hU)λ₯Ό μ‚¬μš©ν•œ κ²ƒμž…λ‹ˆλ‹€.


λ˜λŠ” μ•„λž˜μ™€ 같이 Jacobian을 μ •μ˜ν•  μˆ˜λ„ μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€.

DFX=(βˆ‚fiβˆ‚xj)∈RnΓ—n

μ΄λ•Œ, DFX(U)λŠ” DFXβ‹…U둜 ν–‰λ ¬κ³±μ˜ κ²°κ³Όμž…λ‹ˆλ‹€.

DFX(U)=βˆ‘j=1n(βˆ‚fiβˆ‚xjβ‹…uj)

그리고 이 Jacobian의 노름(Norm)을 μ•„λž˜μ™€ 같이 μ •μ˜ν•©μ‹œλ‹€.

β€–DFXβ€–=βˆ‘β€–Uβ€–=1β€–DFX(U)β€–