Some Preliminary for The Existence and Uniqueness Theorem
볡μμ 곡νκ³ μλ μνκ³Όμ νλΆ μ‘Έμ μνμ λ―ΈλΆλ°©μ μμ΄ μλ μ€ μκ³ , μν μ€λΉλ ν κ²Έ 볡νν λ βμλ―ΈλΆλ°©μ μβ κ³Όλͺ©μ μ μ²νμ΅λλ€. λμ€μ μκ³ λ³΄λ λ―ΈλΆλ°©μ μμ μ‘Έμ μν κ³Όλͺ©μ΄ μλμμ΅λλ€β¦ OTLβ¦ κ·Έλλ μ΄μ μμν κ² ν¬κΈ°λ μμ΅λλ€!! πͺ μΌλμ°¨!! μλ―ΈλΆλ°©μ μ ν¬μ€νΈ μ 체 보기
λ€μ΄κ°λ©°Permalink
κ²½κ³ νλλ° μ¬κΈ°μλΆν° μ§μ§ μμ ν μλ‘μ΄ λ΄μ©μ
λλ€β¦;; μ§κΈκΉμ§λ λ―ΈλΆλ°©μ μμ μ¬ν λ²μ μ νλ λλμ΄μλ€λ©΄, μ¬κΈ°μλΆν° μ§μ§ MATH4xx
κ³Όλͺ©μ μμμ΄ λμ§ μμ΄λκ² λλ μ μμ΅λλ€ γ
γ
μ΄ μ±ν°μ λͺ©νλ ODEμ solutionμ΄ μ‘΄μ¬(Existence)νκ³ κ·Έλ¦¬κ³ μ μΌ(Uniqueness)νλ€λ κ²μ 보μ΄λ κ²μ λλ€. κ·Έλ°λ° μ λ κ°μ(π₯)λκΉ κ·Έ μ£Όλ³ κ³λ€λ¦¬λΆν° λ€κ°κ°λ³΄λλ‘ νκ² μ΅λλ€.
[Existence and Uniquenessμ κ³λ€λ¦¬λ€]
μμλ μκ΄μμ΅λλ€.
Function SpacesPermalink
IVTμ λν μ 리λ₯Ό 보기 μ μ, λ¨Όμ μλμ μ§ν©μ μλ°ν μ μν΄λ΄ μλ€.
μ΄λ, βDifferentiableβκ³Ό βContinuously Differentiableβμ μ°¨μ΄λ βDifferentialβμ λν¨μ
μ΄κ²μ κ·λ©μ μΌλ‘ μ μνλ©΄,
CompactnessPermalink
(νλΆ μμμνμ΄λ ν΄μνμμ λμ€λ κ°λ μ΄λΌκ³ νλλ°, λλ€ μκ°ν μ μ΄ μμ΄μ μ΄λ²μ 첨 λ΄€μ΅λλ€;;)
μνμμ βμ κ³(bounded)βμ κ°λ μ μΌλ°νν κ²μ΄λ€. μλ₯Ό λ€μ΄, 2μ°¨μ νλ©΄ μμ μμ΄λ, 3μ°¨μμ ꡬ, ν λ¬μ€λ μ½€ν©νΈ μ§ν©μ΄λ€. μ΄λ€μ μ§μ μ΄λ, νλ©΄, 곡κ°μ λΉν΄ μμ£Ό μμ μ§ν©λ€μ΄λ€. βμ½€ν©νΈ(compact)βλΌλ μ΄λ¦μ μ΄λ° λ§₯λ½μμ μ¨ κ²μ΄λ€.
1μ°¨μμμ κ°μ₯ μ½κ² λ μ¬λ¦΄ μ μλ μ½€ν©νΈ μ§ν©μ
IF
THEN
μμ μ 리μ μ¬λ‘λ₯Ό μ΄ν΄λ³΄λ©΄
- ꡬκ°
, ν¨μ- μ΅λκ°
- μ΅μκ°
- μ΅λκ°
- ꡬκ°
, ν¨μ- μ΅λκ°
- μ΅μκ°
- μ΅λκ°
μ²μμ μ λ¦¬κ° λΉμ°ν λ§μ νκ³ μλ€κ³ μκ°νλλ°, μκ°λ³΄λ€ λ°λ‘λ₯Ό μ½κ² μ°Ύμ μ μλ€.
ꡬκ°
λ§μ½ μ μμμ μ½€ν©νΈνκ² λ§λ€κΈ° μν΄
Differential on Vector FieldPermalink
λ²‘ν° νλ
λ¨Όμ ,
μ΄λ,
λλ μλμ κ°μ΄ Jacobianμ μ μν μλ μμ΅λλ€.
μ΄λ,
κ·Έλ¦¬κ³ μ΄ Jacobianμ λ Έλ¦(Norm)μ μλμ κ°μ΄ μ μν©μλ€.