The Existence Theorem
๋ณต์์ ๊ณตํ๊ณ ์๋ ์ํ๊ณผ์ ํ๋ถ ์กธ์ ์ํ์ ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์์ด ์๋ ์ค ์๊ณ , ์ํ ์ค๋น๋ ํ ๊ฒธ ๋ณตํํ ๋ โ์๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์โ ๊ณผ๋ชฉ์ ์ ์ฒญํ์ต๋๋ค. ๋์ค์ ์๊ณ ๋ณด๋ ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์์ ์กธ์ ์ํ ๊ณผ๋ชฉ์ด ์๋์์ต๋๋คโฆ OTLโฆ ๊ทธ๋๋ ์ด์ ์์ํ ๊ฒ ํฌ๊ธฐ๋ ์์ต๋๋ค!! ๐ช ์ผ๋์ฐจ!! ์๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์ ํฌ์คํธ ์ ์ฒด ๋ณด๊ธฐ
๋ค์ด๊ฐ๋ฉฐ
๊ฒฝ๊ณ ํ๋๋ฐ ์ฌ๊ธฐ์๋ถํฐ ์ง์ง ์์ ํ ์๋ก์ด ๋ด์ฉ์
๋๋คโฆ;; ์ง๊ธ๊น์ง๋ ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์์ ์ฌํ ๋ฒ์ ์ ํ๋ ๋๋์ด์๋ค๋ฉด, ์ฌ๊ธฐ์๋ถํฐ ์ง์ง MATH4xx
๊ณผ๋ชฉ์ ์์์ด ๋ญ์ง ์์ด๋๊ฒ ๋๋ ์ ์์ต๋๋ค ใ
ใ
์ด ์ฑํฐ์ ๋ชฉํ๋ ODE์ solution์ด ์กด์ฌ(Existence)ํ๊ณ ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ์ ์ผ(Uniqueness)ํ๋ค๋ ๊ฒ์ ๋ณด์ด๋ ๊ฒ์ ๋๋ค. ๊ทธ๋ฐ๋ฐ ์ ๋ ๊ฐ์(๐ฅ)๋๊น ๊ทธ ์ฃผ๋ณ ๊ณ๋ค๋ฆฌ๋ถํฐ ๋ค๊ฐ๊ฐ๋ณด๋๋ก ํ๊ฒ ์ต๋๋ค.
[Existence and Uniqueness์ ๊ณ๋ค๋ฆฌ๋ค]
์์๋ ์๊ด์์ต๋๋ค.
The Existence and Uniqueness Theorem
Consider the initial value problem
\[X' = F(X), \quad X(0) = X_0\]where $X_0 \in \mathbb{R}^n$. Supp. that $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ is $C^1$.
Then there exists a โuniqueโ solution of this initial value problem. More precisely, there exists $a > 0$ and a unique solution
\[X: (-a, a) \rightarrow \mathbb{R}^n\]of this differential equation satisfying the initial condition $X(0) = X_0$.
์ด๋, $C^1$์ โContinuously Differentiable Functionโ์ ๋๋ค. ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ $F(X)$๋ ๋ฒกํฐ ํ๋๋ก
\[F(X) = (f_1, (x_1, ..., x_n), ..., f_n(x_1, ..., x_n))\]์ ๋ง์กฑํฉ๋๋ค.
Road to the theorem
์ฐ๋ฆฌ์ ๋ชฉํ๋ ์์ ์ ๋ฆฌ๋ฅผ ์ดํดํ๊ณ , ์ฆ๋ช ํด๋ณด๋ ๊ฒ์ ๋๋ค. ๋ด์ฉ์ด ์ด๋ ค์ธ ์๋ ์๊ฒ ์ง๋ง, ํฌ๊ธฐํ์ง ์๊ณ ์ ์งํด๋ด ์๋ค! ๐โโ๏ธโโก๏ธ ๋ด์ฉ์ ๋ค ์ดํดํ์ง ๋ชป ํด๋ ๊ด์ฐฎ๋ค!! (๋์๊ฒ ํ๋ ๋ง ใ ใ )
Continuous Differential Functions are Locally Lipschitz
Supp. that the function $F: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ is $C^1$.
Then $F$ is locally Lipschitz.
* ์ด๋, ํจ์์ ์ ์์ญ $\Omega$๋ ์ฝคํฉํธ ์งํฉ์ด๋ค.
Let $x_0 \in \Omega$ and let $B_{\epsilon} := \left\{ x: | x - x_0 | \le \epsilon \right\}$ with small $\epsilon > 0$ s.t. $B_{\epsilon} \subset \Omega$.
$B_{\epsilon}$์ด convex ํ๋ฏ๋ก, $B_{\epsilon}$ ์์ ์กด์ฌํ๋ ๋ ์ $Y$, $Z$๋ฅผ ์ฐ๊ฒฐํ๋ straight line ์ญ์ $B_{\epsilon}$ ์์ ์กด์ฌํ๊ฒ ๋ฉ๋๋ค. ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ๊ทธ line๋ ์๋์ ๊ฐ์ด ์ ์๋ฉ๋๋ค.
\[Y + s U \in B_{\epsilon}\](์ด๋, $U$๋ ๋ฐฉํฅ ๋ฒกํฐ๋ก $U = Z - Y$, ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ $s$๋ $0 \le s \le 1$๋ผ๋ ๋งค๊ฐ๋ณ์.)
์ด straight line ์์์์ ํจ์ซ๊ฐ์ $\psi(s) = F(Y + sU)$๋ผ๊ณ ์ ์ํด๋ด ์๋ค. (๋ฏธ์ 2์ ์ ์ ๋ถ(Line integral)์ด ๋ ์ค๋ฅด๋ค์) ์ด๊ฑธ ๋ฏธ๋ถํ๋ฉด Differential on Vector Field์์ ํ๋๋๋ก
\[\psi'(s) = DF_{Y+sU}(U)\]๊ฐ ๋ฉ๋๋ค. ํ๊ธฐ๊ฐ ํญ์ ํท๊ฐ๋ฆฌ๋๋ฐ, $DF_{Y+sU}$๋ ์ $Y+sU$ ์์์์ Jacobian์ ๋งํ๊ณ , $U$๋ ์๋ฏธ๋ถ์ ์ํด ๋ฐ์ผ๋ก ๋์จ ๋ฒกํฐ์ ๋๋ค. ์ด ๋์ ๋ด์ ํ ๊ฒ์ด $\psiโ(s)$ ์ ๋๋ค.
์ด์ ์ฒ์์ ์ก์๋ ๋ ์ $Y, Z \in B_{\epsilon}$์ ๋ํ ๋ ํจ์๊ฐ์ ์ฐจ์ด์ธ $F(Z) - F(Y)$๋ฅผ ํ์ธํด๋ด ์๋ค.
\[\begin{aligned} F(Z) - F(Y) &= \psi(1) - \psi(0) \\ &= \int_0^1 \psi'(s) \, ds \\ &= \int_0^1 DF_{Y+sU}(U) \, ds \end{aligned}\]์ด๋, ์งํฉ $B_{\epsilon}$๊ฐ compact ํ๋ฏ๋ก, ๊ทธ ์ ์์ญ ์์์ ํจ์๊ฐ $F(X)$์ Minimum๊ณผ Maximum์ด ์กด์ฌํฉ๋๋ค. ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ $B_{\epsilon}$์ ๋ํ Jacobian์ ๋ ธ๋ฆ $K$๋ฅผ ์ ์ํฉ๋๋ค: $K = \sup_{x \in B_{\epsilon}} | DF_x | < + \infty$.
์ด์ ์๋์ ๊ฐ์ ๋ถ๋ฑ์์ ๋ง์กฑํฉ๋๋ค.
\[\|F(Z) - F(Y)\| = \left\| \int_0^1 DF_{Y+sU}(U) \, ds \right\| \le \int_0^1 K \| U \| \, ds = K \| Z - Y \|\]๋ถ๋ฑ์์ ์ ์ ๋ฆฌํ๋ฉด, ์๋์ ๊ฐ์ด Lipschitz ๋ถ๋ฑ์์ ๋ํ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ์ป๊ฒ ๋ฉ๋๋ค.
\[\frac{\| F(Z) - F(Y) \|}{\| Z - Y \|} \le K\]$\blacksquare$
Integral form of the differential equation
์ฐ๋ฆฌ๊ฐ ์ง๊ธ๊น์ง ์ดํด๋ณธ ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์์ $Xโ = F(X)$์ ๊ผด์ด์์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฐ๋ฐ, ์ด๊ฒ์ ๋งค๊ฐ๋ณ์ํ ํ๊ณ , ์ ๋ถ ๊ผด๋ก ๋ฐ๊พธ๋ฉด ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์๊ณผ ๋์น์ธ ์ ๋ถ๋ฐฉ์ ์์ ์ป์ ์ ์์ต๋๋ค.
์ ๋ ฅ ๋ณ์ $X$๋ฅผ $t$๋ก ๋งค๊ฐ๋ณ์ํ ํ๋ฉด, $Xโ(t) = F(X(t))$๋ฅผ ๋ง์กฑํ๊ฒ ๋ฉ๋๋ค. $X(0) = X_0$. ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ์ด๊ฒ์ ์ ๋ถ๊ผด๋ก ๋ฐ๊พธ๋ฉด
\[X(t) = X_0 + \int_0^t F(X(s)) \, ds\]ํด์ ์กด์ฌ์ฑ ์ฆ๋ช ์ ์ํด ์ฐ๋ฆฌ๋ ์ ์ ๋ถ๊ผด์ ์ฌ์ฉํ ์์ ์ ๋๋ค.
Assumptions to prove
์กด์ฌ์ฑ ์ฆ๋ช ์ ์ํด ์๋์ ๊ฐ์ด ์ธํ ํฉ๋๋ค.
- ์ด๊ธฐ๊ฐ $X_0$๋ฅผ ์ค์ฌ์ผ๋กํ๊ณ , ๋ฐ์ง๋ฆ $\rho > 0$์ธ closed ball $O_\rho$๋ฅผ ์ ์ํจ.
- ๋ฒกํฐ ํ๋ $F(X)$๊ฐ $O_\rho$ ์์ ๋ํด Lipschitz Constant $K$๋ฅผ ๊ฐ์ง.
- ๋ฒกํฐ ํ๋ $F(X)$์ ์ํ์ด $O_\rho$ ์์ ์กด์ฌํ๋๋ฐ, ์ด๋ฅผ $M$์ด๋ผ๊ณ ํจ.
- ๊ตฌ๊ฐ $J = [-a, a]$๋ฅผ ์ ์ํ๋๋ฐ, $a$๋ $a < \min \{ \rho/M, 1/K \}$์ฌ์ผ ํจ.
Function Sequence
$J = [-a, a]$ ๋ฒ์ ์์์ ํจ์์ด $\left\{U_0, U_1, โฆ\right\}$๋ฅผ ์ ์ํฉ๋๋ค. ์ด๊ฒ์ Picard Iteration์ ์ํด ์ ์๋๋ ํจ์์ด์ ๋๋ค.
์ด๊ธฐ์ $U_0(t) = X_0$์ ๋๋ค. Iteration์ ํ๋ฒ ๋๋ฉด,
\[U_1(t) = X_0 + \int_0^t F(U_0(s)) \, ds = X_0 + t F(X_0)\]๋ก ์ ์๋ฉ๋๋ค. ์ด๋, $U_k(t)$๊ฐ ๋ค์ $O_{\rho}$์ ์ํ๋์ง ํ์ธํด๋ด ์๋ค. ๋ชจ๋ $U_k(t) \in O_\rho$๋ฅผ ๋ง์กฑํด์ผ ๊ฐ์ ์กฐ๊ฑด ์์์ Iteration์ ๊ณ์ํ ์ ์๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ๋๋ค.
\[\begin{aligned} U_1(t) &= X_0 + t F(X_0) \\ \| U_1(t) - X_0 \| &= \| t \| \cdot \| F(X_0) \| \le a \cdot M < \rho \end{aligned}\]์ด๊ฒ์ $U_1(t)$๊ฐ $X_0$๋ฅผ ์ค์ฌ์ผ๋ก ํ๋ ๋ซํ ์ $O_{\rho}$์ ์ํ๋ค๋ ๊ฒ์ ๋งํฉ๋๋ค: $U_1(t) \in O_{\rho}$.
Picard Iteration ๋ฐฉ์์ ๋ฐ๋ผ ์ด ๊ณผ์ ์ ๋ฐ๋ณตํ๋ฉด, ๊ท๋ฉ๋ฒ์ ์ํด $U_k(t)$๋ ์๋์ ๊ฐ์ด ์ ์๋๊ณ
\[U_{k+1}(t) = X_0 + \int_0^t F(U_{k}(s)) \, ds\]๊ฐ $U_k(t)$๋ $O_{\rho}$์ ํฌํจ๋๊ฒ ๋ฉ๋๋ค. ($U_1(t)$์์ ํ๋ ๋ฐฉ์๋๋ก ์ ๋ฆฌํ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค.)
๋ฐ๋ผ์, ํจ์์ด $\left\{ U_k (t) \right\}$๋ $J = [-a, a]$ ์์์ well-defined ์ ๋๋ค.
Convergence of Function Sequence
์์ ๊ณผ์ ์์ ํจ์์ด $\left\{ U_k (t) \right\}$์ด well-defined์ธ ๊ฒ์ ํ์ธ ํ์ต๋๋ค. ์ด์ $U_{k}(t)$๊ฐ solution์ธ $X(t)$์ ์๋ ดํ๋ค๋ ๊ฒ์ ๋ณด์ฌ์ผ ํฉ๋๋ค. ํจ์์ด์ด ์๋ ดํ๋์ง ๋ณด์ด๊ธฐ ์ํด ์๋์ ๊ฒ์ ๋ณด์ฌ์ผ ํ๋๋ฐ
\[\lim_{k\rightarrow\infty}\| U_{k+1}(t) - U_{k}(t) \| < + \infty\]References
https://youtu.be/Zxr6Wekwxh0?si=k3uo7A_srkM8Us7R
https://people.math.wisc.edu/~aseeger/319/notes2.pdf ^์ฝ์ด๋ด์ผ ํจ