Stability

복수전공하고 있는 수학과의 학부 졸업시험에 미분방정식이 있는 줄 알고, 시험 준비도 할 겸 복학할 때 “상미분방정식” 과목을 신청했습니다. 나중에 알고보니 미분방정식은 졸업시험 과목이 아니었습니다… OTL… 그래도 이왕 시작한 것 포기란 없습니다!! 💪 으랏차!! 상미분방정식 포스트 전체 보기

Stable

Fixed Point가 Stable 지점인지 Unstable 지점인지 수학적으로 정의 해보는 파트입니다.

$X^{\ast}$ is a stable fixed point if for every neighborhood $O \subset \mathbf{R}^n$ of $X^{\ast}$,

there exist neighborhood $O_1 \subset O$ s.t. the solution $X(t)$ with $X(0) = X_0 \in O_1$ is defined and remains in $O$ for all $t > 0$.

Asymptotically Stable

Stable 성질을 만족하면서, Solution Curve $X(t)$가

\[\lim_{t\rightarrow \infty} X(t) = X^{\ast}\]

를 만족하는 경우를 말한다.

Visualizations

Stable vs. Asymptotically Stable

https://logancollinsblog.com/2018/01/27/notes-on-dynamical-systems/

요 블로그에 있는 플롯이 두 개념을 비교하는데, 도움이 되었다.

Center의 경우는 Fixed point 주변을 Solution Curve가 돌기만 할 뿐 수렴하지는 않는다. 반면에 Stable Node 경우와 Stable Spiral 경우는 Fixed point로 Solution Curve가 수렴한다!

Kind of Fixed Points

By Jacopo Bertolotti - https://twitter.com/j_bertolotti/status/1634148351296806914, CC0, Link

Theorem

이젠 하도 많이 봐서 당연할 수도 있지만, 아래 정리가 성립한다.

If $n$-dimensional system $X’ = F(X)$ has an fixed point $X^{\ast}$ and the eigenvalues of the linearized system at $X^{\ast}$ have negative real part.

Then $X^{\ast}$ is asymptotically stable.