Utility Functions

졸업을 위해 마지막 학기에 “미시경제학” 수업을 듣게 되었습니다. 경제학원론 수업을 재밌게 들어서 경제 쪽이랑 궁합이 좋은 줄 알고 신청 했는데, 웬걸… 이 과목은 사실상 수학과 과목 이었습니다.. ㅋㅋ 그래도 수학과 복수전공도 하고 있으니, 이 수업도 힘내서 잘 들어봅시다! 전체 포스트는 “미시경제학” 카테고리에서 확인하실 수 있습니다.

What is utility

지난 포스트에서는 개인의 선호(preference)에 대해 살펴보았습니다. 그런데, 경제학에서는 개인의 선호를 직접 다루기 보다는 가치 함수(value function)을 사용해 표현하는 경우가 많습니다.

그런데, 가치 함수의 부등호 방향이 선호의 부등호 방향과 일치하지는 않을 수 있습니다. 예를 들어, 회사로부터 떨어진 거리 $d(x)$는 가치 함수지만, 이 값이 작을수록 사람들이 선호하게 됩니다.

만약 어떤 가치함수가 개인의 선호를 정확히 나타낼 수 있다면, 이 가치 함수를 “효용 함수(utility function)” $u(x)$라고 합니다. 위의 회사 거리 예시에서는 $u(x) = - d(x)$로 표현할 수 있습니다. 또는 $u(x) = 1/d(x)$로 표현할 수도 있습니다.

Definition

For any set $X$ and preference relation $\succcurlyeq$ on $X$,

the function $u: X \rightarrow \mathbb{R}$ represents $\succcurlyeq$ iff $u(x) \ge u(y)$.

효용 함수에서는 부등호의 방향과 선호의 부등호 방향이 일치 합니다!

Minimal/Maximal Alternative

어떤 대안 $x \in X$가 “minimal alternative“라고 한다면, $x$는 다른 모든 $y \in X$에 대해서 $y \succcurlyeq x$ 관계를 만족합니다.

반대로 어떤 대안 $x \in X$가 “maximal alternative“라고 한다면, $x$는 다른 모든 $y \in X$에 대해서 $x \succcurlyeq y$ 관계를 만족합니다.

Existence of Minimal/Maximal Alternatives

Let $X$ be a nonempty-finite set and let $\succcurlyeq$ be a preference relation on $X$.

At least one member of $X$ is minimal w.r.t $\succcurlyeq$ in $X$
and at least one member is maximal.

Proof

TODO

Propositions

Preference relation can be represented by a utility function

Every preference relation on a finite set can be represented by a utility function.

유한 집합 $X$ 위에서 정의된 선호 관계 $\succcurlyeq$가 있습니다.

집합 $X$의 원소 중, 선호 관계 $\succcurlyeq$에 따라 최소인 원소들의 집합 $M_1$을 정의합니다. minimal alternative인 원소는 하나 이상 존재할 수 있기 때문에 집합으로 표현 합니다.

이 집합 $M_1$은 공집합 $\emptyset$이 아니며, 이 원소들에 대한 효용 함수의 값을 $u(x) = 1$로 정의합니다.

새로운 집합 $Y_1 = X \setminus M_1$을 정의하고, 남아있는 원소 중에서의 최소 원소들의 집합 $M_2$를 찾습니다. 그리고 이 원소들에는 $u(x) = 2$의 값을 부여 합니다.

이 과정을 계속 반복하여 $M_k$를 정의하고, 해당 집합의 원소에 $u(x) = k$의 값을 부여 합니다.

집합 $X$는 유한 집합 이므로, 이 과정은 유한번 시행된 후에 종료 됩니다.

Lexicographic Preference Do Not Have Utility Function

The lexicographic preference relation is not represented by any utility function

TODO: proof

참고로 사전식 선호에 대한 이 성질은 나중에 “번들(Bundle) 선호”에 대해 다룰 때 한번더 등장합니다! [link]

Monotone Transformation of Utility Function

Let $f$ is a real-valued increasing function.

If $u$ represents the preference relation $\succcurlyeq$ on $X$,

then so does the monotone transformation $w$ defined by $w(x) = f(u(x))$ for all $x \in X$.

이 명제의 의미는 효용 함수의 값 자체는 절대적인 의미를 갖는 것이 아니고, 순서만 중요할 뿐이라는 것 입니다. 효용 함수를 스케일링 하든 이리저리 변환을 하든, 그 함수가 단조 증가하는 함수라면 선호 순서가 보존 됩니다.

맺음말

효용 함수를 사용해 개인의 선호를 정의하는 방법을 살펴보았습니다. 지금까지는 개인의 선호가 이항관계 $\succcurlyeq$로 명확히 제시되거나, 효용 함수를 통해 수치적으로 계산하였습니다.

이어지는 포스트에서는 개인의 선호가 “선택 함수(Choice Function)“의 형태로 표현 됩니다. 이 함수는 부분집합이 주어졌을 때, 그 안에서 어떤 원소를 하나 선택 하는 함수로 개인의 선호를 표현하는 표현 방법 중 하나 입니다.