Choice

What is Choice Problem

Choice Function $c$ is a function that select one element from subsets of $X$.

\[c: \mathsf{P}(X) \setminus \emptyset \rightarrow X\]

For any subset $A \subseteq X$, $c(A) \in A$ should be hold.

예시를 들어보자면, 선택 함수는 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

• $c(\left\{a, b, c\right\}) = a$
• $c(\left\{a, b\right\}) = a$
• $c(\left\{b, c\right\}) = b$
• $c(\left\{a, c\right\}) = a$

Rationality

어떤 집합 $X$가 주어졌을 때, 그 위에서는 가능한 선택 함수가 아주 많습니다. 그런데, 이 선택 함수는 합리적(rational) 하기도 하고, 비합리적(irrational) 하기도 합니다. “합리적”이라는 표현은 선택 함수가 어떤 패턴을 따른 것이지, 그 선택이 옳다는 것을 말하지는 않습니다.

Example - rational

아래의 선택 함수는 합리적 입니다.

• $c(\left\{a, b, c\right\}) = a$
• $c(\left\{a, b\right\}) = a$
• $c(\left\{b, c\right\}) = b$
• $c(\left\{a, c\right\}) = a$

부분 집합에 대해 일괄된 선호 관계를 보입니다.

Example - irrational

아래의 선택 함수는 “비합리적”입니다.

• $c(\left\{a, b\right\}) = a$
• $c(\left\{b, c\right\}) = c$
• $c(\left\{a, c\right\}) = b$

이 경우, 두 원소 사이에 존재하는 preference가 일관 되지 않기 때문에, $c(\left\{a, b, c\right\})$의 값을 결정할 수 없습니다.

Rationalizable

A choice function is “rationalizable” if there is a preference relation
s.t. for every choice problem the alternative specified by the choice function is the best alternative according to the preference relation.

합리적인 선택 함수는 그 결과가 일정한 기준(ex: 선호 관계)에 따라 항상 일관된 방식으로 선택을 수행 합니다. 이때는 선택 함수의 어떤 선택 결과가 다른 선택의 결과와 모순되지 않습니다. 선택 함수가 일관성을 갖는다면 아래 조건을 만족해야 합니다.

• Transitivity
  • If $c(\left\{a, b\right\}) = a$ and $c(\left\{b, c\right\}) = c$,
  • then $c(\left\{a, c\right\}) = a$가 되어야 한다.
• Completeness
  • 어떤 두 개의 대안 $a$, $b$가 주어지면 둘 중 하나를 반드시 선택해야 합니다.
• Consistency in Choice
  • 만약 value(or distance) 큰 것을 선택한다고 한다는 규칙이 있으면, 이것이 모든 부분집합에 대해 일관되게 적용 되어야 합니다.

In Reality

TODO

현실에서 실제 인간의 선택은 항상 고정된 선호에 의해 이뤄지는 것이 아니고 맥작적인 정보를 반영해야 함. -> 연어와 스테이크 문제

맥락이 바뀌면, 사람의 선택도 바뀔 수 있다.