Interpolation Error
์ํ๊ณผ ๋ณต์์ ๊ณต์ ์ํด ์กธ์ ๋ง์ง๋ง ํ๊ธฐ์ โ์์นํด์๊ฐ๋ก โ ์์ ์ ๋ฃ๊ฒ ๋์์ต๋๋ค. ์ํ๊ณผ ์กธ์ ์ํ๋ ๊ฒธ์ฌ๊ฒธ์ฌ ์ค๋นํ ๊ฒธ ํ์ดํ ํด๋ด ์๋ค!! ์ ์ฒด ํฌ์คํธ๋ โNumerical Analysisโ์์ ํ์ธํ ์ ์์ต๋๋ค.
๋ค์ด๊ฐ๋ฉฐ
โ๋ผ๊ทธ๋์ง ๋ณด๊ฐ๋ฒโ๊ณผ โ๋ถํ ์ฐจ๋ถ ๋ณด๊ฐ๋ฒโ์ ํจ์๋ฅผ ๋ณด๊ฐ ๋คํญ์์ผ๋ก ๊ทผ์ฌํ ๊ฒฐ๊ณผ ์ ๋๋ค. ์ด๊ฒ์ด ์ค์ ํจ์์ ๊ฐ๊ณผ ๋ณด๊ฐ ๊ฐ์ด ์ผ๋ง๋ ์ฐจ์ด๊ฐ ๋๋์ง๋ฅผ ์ํ์ ์ผ๋ก ์ดํด๋ณด๋ ํํธ ์ ๋๋ค.
Interpolation Error Theorem
Let $x_1, \dots, x_n$ bet $n$ distinct nodes in the interval $[a, b]$. Assume that $f \in C^{n}[a, b]$.
Given that $x \in [a, b]$, there exists a $\xi = \xi(x)$ in $(a, b)$ s.t.
\[f(x) - I_n f(x) = \frac{\omega_n(x)}{n!} f^{(n)} (\xi)\]where $\omega_n(x)$ is a โnodal polynomialโ s.t. $\omega_n(x) = (x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n) = \prod (x-x_i)$.
์ด ์ ๋ฆฌ์ ์๋ฏธ๋ ์ค์ ํจ์๊ฐ๊ณผ ๋ณด๊ฐ๊ฐ ์ฌ์ด์ ์ค์ฐจ๋ฅผ ์ ํํ ์์ ์์์ผ๋ก ํํํ ์ ์๋ค๋ ๊ฒ์ ๋งํฉ๋๋ค.
์ด๋, ์์ ์์ฒด๋ก๋ ๋ช๊ฐ์ง ์๋ฏธ๊ฐ ์ ๋ ๋๋๋ฐ,
- ์ค์ฐจ๋ ๊ณ ์ฐจ ๋ํจ์ $f^{(n)}(\xi)$์ ๋น๋กํ๋ค
- ํจ์๊ฐ ๋ง์ด ํ์ด์ง์๋ก ์ค์ฐจ๊ฐ ์ปค์ง๋๋ค.
- ์ค์ฐจ๋ ๋
ธ๋ค๋ค๊ณผ์ ๊ฑฐ๋ฆฌ ๊ณฑ $\omega_n(x)$์ ๋น๋กํ๋ค
- $x$๊ฐ ๋ ธ๋๋ค๊ณผ ๋ฉ๋ฆฌ ๋จ์ด์ง์๋ก ์ค์ฐจ๊ฐ ์ปค์ง
- ์์ ์ค์ฐจ์์ ๋ฑํธ๊ฐ ์๋ โ์ ํํโ ์ค์ฐจ ํํ์ ์
๋๋ค.
- ๋ญํ๋ค๋ฉด, ๋ถ๋ฑํธ๊ฐ ์๋ ์ค์ฐจ ์ํ์ (error bound)์ ํํ๋ก๋ ์ธ ์ ์์ต๋๋ค.
ํ๋ง๋๋ก ์์ฝํ๋ฉด ์๋์ ๊ฐ๊ฒ ๋ค์.
Interpolation error depends on
the nth derivative(=curvature)
and the distance from the interpolation nodes.
Proof
TODO
Properties
Local Bound
โInterpolation Error Theoremโ์ ์ํด ์๋์ ๋ถ๋ฑ์์ด ์ฑ๋ฆฝ ํฉ๋๋ค.
where $M_n = \max_{x \in [a, b]} | f^{(n)}(x) |$.
์ด๊ฒ์ $f^{(n)}(\xi)$๊ฐ $M_n$์ผ๋ก ์นํ๋๋ฉด์ ๋ถ๋ฑ์์ผ๋ก ๋ฐ๋ ๊ฒ ์ ๋๋ค.
Global Bound
โInterpolation Error Theoremโ์ ์ํด ์๋์ ๋ถ๋ฑ์์ด ์ฑ๋ฆฝ ํฉ๋๋ค.
where $M_n = \max_{x \in [a, b]} | f^{(n)}(x) |$.
์ด๊ฒ์ ์ ์ญ์ ์ธ ์๋ฌ ์ ๋๋ค. nodal polynomial์ธ $\omega_n(x)$์ ์ํ์ ๊ตฌํจ์ผ๋ก์จ, ์ ์ญ ์๋ฌ๋ฅผ ์ ๋ํ ์ ์์ต๋๋ค.