Hermite Interpolation

수학과 복수전공을 위해 졸업 마지막 학기에 “수치해석개론” 수업을 듣게 되었습니다. 수학과 졸업시험도 겸사겸사 준비할 겸 화이팅 해봅시다!! 전체 포스트는 “Numerical Analysis“에서 확인할 수 있습니다.

들어가며

에르미트 보간법은 라그랑주 보간법의 확장된 방식 입니다. 라그랑주 보간법이 각 점 $x_i$에서 함수값 $f(x_i)$만을 맞춰주었다면, 에르미트 보간법은 함수값과 함께 도함수의 값 $f’(x_i)$도 모두 맞추어 줍니다.

만약 함수의 미분값도 알고 있는 상황이라면, 에르미트 보간법을 통해 훨씬 더 정확한 보간이 가능합니다. 이는 물리 시뮬레이션과 컴퓨터 그래픽 분야에서 훨씬 부드러운 곡선을 그리기 위해 사용하는 접근 입니다.

Given the distinct interpolation nodes $x_i$, $i=1,\dots,n$
and two sets of real numbers $y_i$ and $dy_i$ with $n\ge 0$.

we need to find a polynomial $P \in \mathbb{P}_{2n-1}$ s.t.

\[P(x_i) = y_i \quad P'(x_i) = dy_i\]

Hermite Interpolation

에르미트 보간법에서는 함숫값을 맞춰주는 다항식 $H_i(x)$와 미분값을 맞춰주는 다항식 $K_i(x)$로 구성 됩니다.

• $H_i(x)$
  • $P(x_i) = y_i$가 되도록 합니다.
  • $H_i(x_j) = \delta_{ij}$가 되도록 구성하고,
  • $H_i’(x_j) = 0$이 되도록 합니다.
• $K_i(x)$
  • $P’(x_i) = dy_i$가 되도록 합니다.
  • $K_i(x_j) = 0$이 됩니다.
  • 반면에, $K_i’(x_j) = \delta_{ij}$가 됩니다.

이런 $H_i(x)$와 $K_i(x)$를 찾을 수 있다면, 우리는 아래와 같이 에르미트 보간법을 구성할 수 있습니다.

\[P(x) = \sum_{i=1}^n \left[ y_i H_i(x) + dy_i K_i(x) \right]\]

그리고 에르미트는 이 다항식 $H_i(x)$와 $K_i(x)$를 특별한 방식으로 제시하는데, 이는 아래의 “존재성 정리”에서 형태를 살펴보겠습니다.

Existence & Uniqueness

Supp. that $x_i$ are distinct real numbers.

Then, given two sets of real numbers $y_i$ and $dy_i$, there is a “unique” polynomial $P \in \mathbb{P}_{2n-1}$ s.t.

\[P(x_i) = y_i \quad P'(x_i) = dy_i\]

라그랑주 보간법에서도 $n$개 데이터 노드를 지나는 보간 다항식이 유일하게 존재한다는 것을 살펴보았습니다. 에르미트 보간법에서도 함수값과 미분값을 모두 만족하는 보간 다항식이 유일하게 존재한다는 것을 얘기하는 정리가 이것 입니다.

Existence

에르미트는 $H_i(x)$와 $K_i(x)$를 아래와 같이 쓸 수 있다고 제시 합니다. 이때, $L_i(x)$는 라그랑주 보간법의 기저 다항식 입니다.

\[\begin{aligned} L_i(x) &= \prod_{j=1, j \ne i} \frac{x-x_j}{x_i - x_j} \\ H_i(x) &= \left[ 1 - 2 L_i'(x_i) (x - x_i) \right] \left[L_i(x)\right]^2 \\ K_i(x) &= (x-x_i)\left[L_i(x)\right]^2\\ \end{aligned}\]

먼저, 두 다항식이 $H_i(x_j) = \delta_{ij}$와 $K_i(x_j) = 0$을 만족하는지 살펴봅시다.

\[H_i(x_j) = \delta_{ij}\]

[$i=j$]

\[H_i(x_i) = \left[ 1 - 2 L_i'(x_i) \cancel{(x_i - x_i)} \right] \left[L_i(x_i)\right]^2 = 1 \cdot \left[L_i(x_i)\right]^2 = 1 \cdot 1^2 = 1\]

[$i\ne j$]

\[H_i(x_j) = \left[ 1 - 2 L_i'(x_i) (x_j - x_i) \right] \left[\cancel{L_i(x_j)}\right]^2 = \left[ \cdots \right] \cdot 0^2 = 0\]

\[K_i(x_j) = 0\]

[$i=j$]

\[K_i(x_i) = \cancel{(x_i-x_i)}\left[L_i(x_i)\right]^2 = 0 \cdot 1^2 = 1\]

[$i\ne j$]

\[K_i(x) = (x_j-x_i)\left[\cancel{L_i(x_j)}\right]^2 = (x_j-x_i) \cdot 0^2 = 0\]

그리고 두 다항식이 $H_i’(x_j) = 0$와 $K_i’(x_j) = \delta_{ij}$을 만족하는지 살펴봅시다. 먼저 두 다항식을 미분한 값은 아래와 같습니다.

\[\begin{aligned} H_i'(x) &= -2 L_i'(x_i) [L_i(x)]^2 + \left( 1 - 2 L_i'(x_i) (x-x_i) \right) \cdot 2 L_i(x) L_i'(x) K_i'(x) &= [L_i(x)]^2 + (x-x_i)\cdot 2 L_i(x) L_i'(x) \end{aligned}\]

\[H_i'(x_j) = 0\]

[$i=j$]

\[\begin{aligned} H_i'(x) &= -2 L_i'(x_i) \cancelto{1}{[L_i(x_i)]^2} + \left( 1 - 2 L_i'(x_i) \cancel{(x_i-x_i)} \right) \cdot 2 \cancelto{1}{L_i(x_i)} L_i'(x_i) \\ &= -2 L_i'(x_i) + 2 L_i'(x_i) = 0 \end{aligned}\]

[$i\ne j$]

\[\begin{aligned} H_i'(x) &= -2 L_i'(x_i) [\cancel{L_i(x_j)}]^2 + \left( 1 - 2 L_i'(x_i) (x_j-x_i) \right) \cdot 2 \cancel{L_i(x_j)} L_i'(x_j) \\ &= 0 + 0 = 0 \end{aligned}\]

\[K_i'(x_j) = \delta_{ij}\]

[$i=j$]

\[K_i'(x_i) = \cancelto{1}{[L_i(x_i)]^2} + \cancel{(x_i-x_i)} \cdot 2 L_i(x_i) L_i'(x_i) = 1 + 0 = 1\]

[$i\ne j$]

\[K_i'(x_j) = \cancel{[L_i(x_j)]^2} + (x_j-x_i)\cdot 2 \cancel{L_i(x_j)} L_i'(x_j) = 0 + 0 = 0\]

Uniqueness

이 부분의 증명도 라그랑주 보간법의 유일성을 증명할 때와 동일하게 “귀류법”으로 증명 합니다.

Supp that there exists a polynomial $Q \in \mathbb{P}_{2n-1}$ with $Q \ne P$ s.t.

\[Q(x_i) = y_i \quad Q'(x_i) = dy_i\]

Let $R(x) = P(x) - Q(x)$. Then $R \in \mathbb{P}{2n-1}$ and thus $R’ \in \mathbb{P}{2n-2}$.

Since $R(x_i) = 0$, then $R$ has $n$ distinct zeros.

“Rolle’s Theorem” implies that $R’$ has at least $n-1$ zeros which interlace the $x_i$.

[Rolle’s Theorem]

함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 다음 조건을 만족한다면,

• $f$는 연속 함수이다.
• $f$는 미분 가능하다.
• $f(a) = f(b)$이다.

그러면, 열린 구간 $(a, b)$ 안에 어떤 점 $c$가 적어도 하나 존재해서 $f’(c) = 0$을 만족한다.

…. TODO!

맺음말

Hermite Polynomial을 처음 접한다면, 반드시 연습 문제를 하나는 풀어보길 바란다… ㅋㅋ

만약, 직접 손으로 해보면 정말 귀찮다…!! 그래서 다음 내용이 나온 것인데, Hermite Polynomial을 approximation을 대신 구한다.

방법은 Newton’s Divided Difference 공식으로 구하는 것이다.

자세한 내용은 다음 포스트에서 ㅎㅎ