Bundle Preference: Monotonicty

졸업을 위해 마지막 학기에 “미시경제학” 수업을 듣게 되었습니다. 경제학원론 수업을 재밌게 들어서 경제 쪽이랑 궁합이 좋은 줄 알고 신청 했는데, 웬걸… 이 과목은 사실상 수학과 과목 이었습니다.. ㅋㅋ 그래도 수학과 복수전공도 하고 있으니, 이 수업도 힘내서 잘 들어봅시다! 전체 포스트는 “미시경제학” 카테고리에서 확인하실 수 있습니다.

들어가며

이전 포스트에서 번들의 정의와 번들 위에서 정의한 선호의 사례들을 살펴보았습니다.

• Constant Tradeoff
• Only Preference
• Stepwise Preference
• Complementary Goods
• Ideal Bundle
• Lexicographic Preference

이번 포스트에서는 번들에 대한 선호를 더 깊이 이해하기 위한 핵심 성질들을 살펴봅니다. 이 특성을 바탕으로 소비자 행동에 대한 기초를 다지게 됩니다.

참고로 여기서 다루는 “단조성”, “연속성”은 앞에서 복권에 대한 선호를 다룰 때도 등장 했었습니다. 복권 선호에서의 성질과 번들 선호에서의 성질을 비교해보는 것도 좋은 접근 입니다.

Monotonicity

더 많이 가지면 더 좋다

번들 선호가 “단조성(Monotonicity)”를 가지면, 아래의 성질을 만족 한다는 것 입니다.

\[\begin{gather*} (x_1, x_2) \succcurlyeq (y_1, y_2) \\ \text{when} \\ x_1 \ge y_1 \quad \text{and} \quad x_2 \ge y_2 \end{gather*}\]

이때, Strictly prefer $\succ$를 정의하는 방법이 2가지가 있는데,

[일반 단조성]

모든 재화가 더 많아야 엄격히 더 좋습니다.

\[\begin{gather*} (x_1, x_2) \succ (y_1, y_2) \\ \text{when} \\ x_1 > y_1 \quad \text{and} \quad x_2 > y_2 \end{gather*}\]

[강한 단조성]

다른 모든 재화의 양은 같지만, 하나의 이상의 재화가 더 많이 있다면, 그 재화가 엄격히 더 좋습니다.

\[\begin{gather*} (x_1, x_2) \succ (y_1, y_2) \\ \text{when} \\ x_1 \ge y_1 \quad \text{and} \quad x_2 \ge y_2 \quad \text{and} \quad \mathbf{x} \ne \mathbf{y} \end{gather*}\]

일반 단조성과 강한 단조성 둘다 “완비성”은 갖추지 못합니다. $x_1 > y_1, x_2 < y_2$인 상황에서는 선호를 매길 수 없거든요.

Examples

이전 포스트에서 살펴봤던 번들 선호가 “단조성”을 만족하는지 살펴봅시다.

Example	Monotonicity	Strong Monotonicity
Constant tradeoff	o	△
Only Preference	o	x
Stepwise Preference	o	x
Complementary Goods	o	x
Ideal Bundle	x	x
Lexicographic	o	o

하나씩 살펴봅시다.

[Constant tradeoff]

효용함수가 $u(x_1, x_2) = v_1x_1 + v_2x_2$이므로, 단조성을 만족 합니다.

단, 강한 단조성은 $v_1, v_2 > 0$일 때만 만족합니다. 왜냐하면, 한 재화라도 가치가 0이면 그쪽으로 아무리 늘려도 선호가 변하지 않기 때문입니다.

$v_1 = 0$인 상황이라면, $(1000, 4) \sim (1, 4)$를 만족 합니다. 그러나 이것은 강한 단조성을 위배하는데,

• $1000 > 1$
• $4 \ge 4$
• $(1000, 4) \ne (1, 4)$

이므로 강한 단조성에 의하면 $(1000, 4) \succ (1, 4)$가 되어야 하는데, $v_1 = 0$이라면 둘이 무차별 하다는 결과가 나옵니다. 따라서, $v_1, v_2 > 0$ 둘다 양수가 되어야 $\succ$ 선호가 “강한 단조성”을 만족한다고 할 수 있습니다.

[Only Preference]

단조성은 만족하지만, 강한 단조성은 만족하지 못합니다. 그 이유는 위의 “Constant tradeoff”에서 $v_1 = 0$ 또는 $v_2 = 0$인 경우가 “Only Preference” 경우이기 때문입니다.

나머지 번들 선호에 대한 설명은 스킵 하겠습니다… ㅎㅎ

Negative Slope

번들 선호의 단조성을 “더 많이 가지면 좋다”라고 표현하였는데요. 저는 “무차별 곡선의 기울기가 항상 음수를 가진다”는 표현이 더 와닿는 것 같습니다!

이것은 무차별 곡선 위의 한 번들을 잡을 때, 그 위에서의 사분면(quadrant)을 잡으면, 1 사분면은 항상 선호되는 번들 집합이 되고, 3사분면은 항상 비선호되는 번들 집합이 됩니다!

[Youtube] 미시경제학 (Microeconomics) Week 2-1: Indifference Curves and MRS

교재 순서대로 살펴본다면 (a3)번 까지 살펴보았습니다! 나머지 성질들도 천천히 살펴봅시다 ㅎㅎ

맺음말

• Continuity
• Convexity
• Differentiability