Bundle Preference: Continuity

졸업을 위해 마지막 학기에 “미시경제학” 수업을 듣게 되었습니다. 경제학원론 수업을 재밌게 들어서 경제 쪽이랑 궁합이 좋은 줄 알고 신청 했는데, 웬걸… 이 과목은 사실상 수학과 과목 이었습니다.. ㅋㅋ 그래도 수학과 복수전공도 하고 있으니, 이 수업도 힘내서 잘 들어봅시다! 전체 포스트는 “미시경제학” 카테고리에서 확인하실 수 있습니다.

들어가며

번들과 번들 선호에 대해 살펴보고, 번들에 대한 선호가 가질 수 있는 특징에 대해서 살펴보고 있습니다.

• Constant Tradeoff
• Only Preference
• Stepwise Preference
• Complementary Goods
• Ideal Bundle
• Lexicographic Preference

이번 포스트에서는 번들에 대한 선호를 더 깊이 이해하기 위한 핵심 성질들을 살펴봅니다. 이 특성을 바탕으로 소비자 행동에 대한 기초를 다지게 됩니다.

참고로 여기서 다루는 “단조성”, “연속성”은 앞에서 복권에 대한 선호를 다룰 때도 등장 했었습니다. 복권 선호에서의 성질과 번들 선호에서의 성질을 비교해보는 것도 좋은 접근 입니다.

Continuity

선호는 끊어지지 않고 매끄럽게 이어진다

이것은 어떤 번들 $\mathbf{x}$가 $\mathbf{y}$보다 선호된다면, $\mathbf{x}$ 근처의 번들도 $\mathbf{y}$ 근처의 번들보다 선호되어야 한다는 성질 입니다. 이것은 미소변화량에 대해서 선호가 역전되지 않고 유지된다는 것을 의미합니다.

번들 선호 $\succcurlyeq$가 “연속성”을 가진다면,

모든 $\mathbf{x} \succ \mathbf{y}$에 대해 아래가 성립해야 합니다.

There exists an $\epsilon > 0$ s.t. for all bundle $\mathbf{a}, \mathbf{b}$

if $| \mathbf{a} - \mathbf{x} | < \epsilon$ and $| \mathbf{b} - \mathbf{y} | < \epsilon$,

then $\mathbf{a} \succ \mathbf{b}$.

* 이때, 거리는 L2 거리를 사용합니다.

정의를 풀어서 설명하면, $\mathbf{x}$ 근처에 있는 모든 $\mathbf{a}$는 $\mathbf{y}$ 근처에 있는 모든 $\mathbf{b}$ 보다 더 좋다는 것을 말합니다.

Non-continuous: Lexicographic preference

참고로 사전식 선호는 “불연속성”을 갖는 선호 방식입니다. 아무리 $\mathbf{x}$와 비슷한 $\mathbf{a}$를 잡아도, 아주 미세한 차이만으로 갑자기 선호 순서가 뒤집히는 일이 발생할 수 있기 때문입니다.

예를 들어, 두 재화가 $x_1 = y_1$이고, $x_2 > y_2$인 이유로 $\mathbf{x} \succ \mathbf{y}$ 였다면, $\mathbf{y}$ 재화에 미소변화 $y_1 + h$만 일어나도 두 재화의 선호 관계는 역전 됩니다.

Continuous preference and Continuous utility

연속적인 효용 함수로 표현 가능한 번들 선호는 항상 연속성을 갖습니다.

이 정리는 직접 번들 선호에 대한 연속성을 확인하는 대신, 번들 선호를 표현할 수 있는 연속적인 효용 함수가 존재하는지를 확인하면 된다는 것을 말합니다.

TODO… 길다…

참고로 역명제도 성립 합니다.

모든 연속성을 갖는 번들 선호는 연속적인 효용 함수로 표현 가능 합니다.

Existence of Intermediate Indifference Point

선호가 연속일 때, $a \succ b \succ c$라면, $a$와 $c$를 연결하는 직선 상 어딘가에 $b$와 무차별한 번들이 반드시 존재한다

수학적으로 표현하면,

There exists $\lambda \in (0, 1)$ s.t.

\[\lambda a + (1 - \lambda) c \sim b\]

이것이 가능하려면 선호가 끊기지 않고 이어져 있는 경우만 가능 합니다. 그리고 이것은 미적분학의 “중간값 정리(Intermediate Value Theorem)”과도 비슷한 성질인데요, 중간값 정리도 연속 함수가 되기 위해, 또는 연속 함수라면 갖는 성질 입니다.

[중간값 정리]

함수 $f$가 구간 $[a, c]$에서 연속이고, $f(a) > f(b) > f(c)$라면,

아래의 등식을 만족하는 어떤 $\lambda \in (0, 1)$가 존재한다.

\[f(\lambda a + (1 - \lambda) c) = f(b)\]

맺음말

이제 나머지 번들 선호의 성질들도 살펴봅시다!

• Monotonicity
• Convexity
• Differentiability