์ˆ˜์น˜ํ•ด์„ํ•™์˜ ์ค‘๊ฐ„๊ณ ์‚ฌ ์ด์ „์˜ ๋ฒ”์œ„์˜ ์—ฐ์Šต ๋ฌธ์ œ

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์ˆ˜ํ•™๊ณผ ๋ณต์ˆ˜์ „๊ณต์„ ์œ„ํ•ด ์กธ์—… ๋งˆ์ง€๋ง‰ ํ•™๊ธฐ์— โ€œ์ˆ˜์น˜ํ•ด์„๊ฐœ๋ก โ€ ์ˆ˜์—…์„ ๋“ฃ๊ฒŒ ๋˜์—ˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ์ˆ˜ํ•™๊ณผ ์กธ์—…์‹œํ—˜๋„ ๊ฒธ์‚ฌ๊ฒธ์‚ฌ ์ค€๋น„ํ•  ๊ฒธ ํ™”์ดํŒ… ํ•ด๋ด…์‹œ๋‹ค!! ์ „์ฒด ํฌ์ŠคํŠธ๋Š” โ€œNumerical Analysisโ€œ์—์„œ ํ™•์ธํ•  ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค.

Generalized Mean Value Theorem

์—ฐ์†์„ฑ์„ ๊ฐ–๊ณ  $(n-1)$๋ฒˆ ๋ฏธ๋ถ„ ๊ฐ€๋Šฅํ•œ ๋‚˜์ด์Šคํ•œ ํ•จ์ˆ˜ $f(x)$๊ฐ€ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ์ด ํ•จ์ˆ˜๋Š” ๊ตฌ๊ฐ„ $[a, b]$ ๋‚ด์˜ $n$๊ฐœ ์  $\left\{ x_i \right\}$์— ๋Œ€ํ•ด ํ•จ์ˆ˜๊ฐ’์ด 0 ์ž…๋‹ˆ๋‹ค.

\[f(x_i) = 0\]

์ด๋•Œ, ์•„๋ž˜์˜ ์–ด๋–ค ์‹ค์ˆ˜ $\xi \in (a, b)$๊ฐ€ ์žˆ์–ด์„œ ์•„๋ž˜ ์‹์„ ๋งŒ์กฑํ•จ์„ ๋ณด์—ฌ๋ผ.

\[f^{(n-1)} (\xi) = 0\]
Proof

(์–ด๋–ค ๋ณด๊ฐ„๋ฒ•์— ๋Œ€ํ•ด์„œ ์ฆ๋ช…ํ•  ๋•Œ, ์ผ๋˜ ํ…Œํฌ๋‹‰ ๊ฐ™์€๋ฐ ์–ด๋–ค ๋ณด๊ฐ„๋ฒ•์ธ์ง€ ๊ธฐ์–ต์ด ์•ˆ ๋‚˜๋„ค์š”.. ^^;;)

์‚ฌ์‹ค ํ’€์ด๋Š” Mean Value Theorem์„ ๋ฐ˜๋ณตํ•ด์„œ ์ ์šฉํ•˜๋ฉด ๋ฉ๋‹ˆ๋‹ค! ๋‹จ์ˆœํ•˜์ฃ ? ใ…‹ใ…‹ ๊ทธ๋ฆผ์œผ๋กœ ๊ทธ๋ฆฌ๋ฉด ์•„๋ž˜์™€ ๊ฐ™์€ ๊ณผ์ •์„ ๋ฐ˜๋ณตํ•ด์„œ $f^{(n-1)}(\xi) = 0$๋ฅผ ์ฐพ๋Š”๋‹ค๊ณ  ๋ณด๋ฉด ๋ฉ๋‹ˆ๋‹ค.

์ฐธ๊ณ ๋กœ GMVT๋Š” โ€œDivided Differenceโ€์— ๋Œ€ํ•œ Mean Value Theorem์ด๋ผ๊ณ ๋„ ๋ณผ ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค!