Producer’s Behavior

졸업을 위해 마지막 학기에 “미시경제학” 수업을 듣게 되었습니다. 경제학원론 수업을 재밌게 들어서 경제 쪽이랑 궁합이 좋은 줄 알고 신청 했는데, 웬걸… 이 과목은 사실상 수학과 과목 이었습니다.. ㅋㅋ 그래도 수학과 복수전공도 하고 있으니, 이 수업도 힘내서 잘 들어봅시다! 전체 포스트는 “미시경제학” 카테고리에서 확인하실 수 있습니다.

들어가며

경제에서 “생산자“는 소비자와 함게 중요한 역할을 수행하는 경제 주체 입니다.

소비자는 경제적 주체들과 물건을 거래(trade)하고, 물건의 보유량을 변화하는 존재 였습니다.

“생산자“는 유형 또는 무형의 재화를 입력(inputs)으로 받아서, 그것의 가치를 변화시켜 출력(outputs)하는 존재 입니다.

현실에서 생산자는 여러 입력을 받을 수 있고, 출력도 여러 재화를 생산할 수 있습니다. 그러나 여기에선 “생산자의 입력과 출력 둘다 하나의 재화”만 있는 상황을 고려 합니다.

Production Function

생산 함수는 \(f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+}\) 인 함수로, 재료의 수량을 입력 받아서 생산되는 생산량을 모델링 하는 함수 입니다. 이 함수는

• 연속 함수이고,
• non-decreasing 함수 이고,
• 오목(concave) 함수 이고,
• $f(0) = 0$를 만족 합니다.
  • 즉, 재료의 투입이 없으면 생산도 없습니다.
• 생산량의 상한이 존재합니다.

이때, 생산 함수가 오목(concave) 하다는 성질은 재밌는 성질인데요.

당연하게도 입력을 늘릴 수록 출력이 늘어나기 마련 입니다. 그러나, 출력의 증가폭은 투입량이 늘어나면, 점점 줄어듭니다. 이것을 “수확 체감의 법칙(Law of Diminishing Returns)“이라고 하고, 함수는 오목하게 그려집니다.

즉, 생산 함수의 곡률이 아래와 같다는 것을 의미 합니다.

[Concave]

\[f''(x) \le 0\]

그리고 생산 함수의 생산량에는 상한이 존재합니다. 이것은 위의 “한계 수확”에 대한 것과 이어지는 내용인데, 아래와 같이 표현 합니다.

For any $\epsilon > 0$, there exist $y$ s.t.

\[f(y+1) - f(y) < \epsilon\]

이것은 아주아주 작은 생산 증가량 $\epsilon > 0$이 있고, 이것은 충분히 많은 투입량 $y$를 투입하면 그렇게 된다는 것 입니다. 이것은 어떤 순간부터는 아무리 투입량이 늘어나도 생산량이 더 늘지 않게 된다는 것을 말합니다. 다르게 표현하면

\[\lim_{x \rightarrow \infty} f'(x) = 0\]

Price Taking Assumption

생산자가 재료를 구매하기 위해 지불을 해야 하고, 생산자가 만든 생산품은 공짜로 분배되지 않으며, 생산품은 누군가가 시장에서 정해진 가격(= 시장 가격)에 의해 구매한다고 가정 합니다.

그리고 구매자는 자신의 생산 행위로 가격을 조정할 수 없습니다. 단, 독점 시장이라면 생산자가 가격을 맘대로 조정할 수 있습니다. 이 경우는 지금 다루지 않고 나중에 다룹니다. 지금은 생산자가 취하는 입력과 만드는 출력이 시장의 전체 투입량/생산량과 비교하면 정말정말 작다고 가정 합니다.

Preference of Producers

생산자의 상황을 수학적으로 모델링 해봅시다.

• 생산자가 만드는 생산량을 $y$라고 합니다.
• 생산품은 시장 가격 $p$로 거래 됩니다.

• 그러면 생산자의 매출(revenue)은 $py$로 잡힙니다.

• 생산자가 물건을 생산하기 위해 재료를 구입합니다. 그 재료의 시장 가격은 $w$로 표기 합니다.
• 생산자가 물건을 생산하기 위해 투입한 재료의 수량을 $a$라고 합니다.
• 그러면 생산자의 생산 비용(cost)은 $wa$가 됩니다.

최종적으로 생산자의 순익(profit)은 $\pi$라고 표현하고 아래와 같습니다.

\[\pi = p \cdot y - w \cdot a\]

생산자의 선호는 $(a, y, \pi)$ triple에 위에서 정의 됩니다. 이때, 생산자는 단순히 이익 $\pi$만을 고려하지 않습니다. 투입량 $a$와 생산량 $y$ 그리고 이익 $\pi$, 세 가지를 종합적으로 고려해 선호를 결정 합니다. 그리고 생산자의 선호는 생산자의 성향에 따라 달라집니다.

Output Maximization

생산자는 $(a, y, \pi)$와 $(a’, y’, \pi’)$ 중에서

[1] $\pi \ge 0 > \pi’$라고 하면, 손해가 없는 조합을 더 선호 합니다.

[2] $\pi, \pi’ \ge 0$라면, $y > y’$인 조합을 더 선호 합니다.

이 생산자는 이익이 0 이상인 경우를 더 선호하면서, 생산량이 더 높은 경우를 선호 합니다. 이익이 0 이상이어야 하는 이유는, 손실이 발생하면서도 높은 생산을 추구하려고 한다면 생산자가 살아남을 수 없기 때문입니다.

Profit Maximization

이 생산자는 오직 이익이 높아지는 상황을 선호 합니다. 매출을 가장 높이는 $(a, y)$ 조합을 찾는 것을 선호 합니다.

이때, 생산자마다 놓인 조건은 다를 수 있습니다. 어떤 생산자는 $(a, y)$의 제한 없이 가능한 모든 조합을 선택할 수 있습니다. 또 다른 생산자는 생산량의 하한이 $\bar{y}$로 존재할 수 있습니다. 이 생산자는 $\bar{y}$ 이하로 생산을 줄일 수 없다는 제약이 있고, 이 상황에서 이익을 최대화 하는 조합을 찾아야 합니다.

이런 제약 상황을 정식으로 표현하면 아래와 같습니다.

\[\max_{a} \, \left(\pi(a) = p f(a) - wa\right) \quad \text{subject to} \quad f(a) \ge \bar{y}\]

Cooperative

“협동 조합(Cooperative)”는 생산자의 형태 중 하나 입니다. 이 기업은 조합을 이루는 조합원 끼리 이익 $\pi$를 균등하게 나눕니다. 이때, 생산의 투입량은 노동력(=조합원의 수)로 설정 합니다.

그리고 협동 조합에서는 기업의 총 매출이 아니라, 1인당 이익 $\pi / a$를 최대화 해야 합니다. 그런데, 생산과 매출을 늘리기 위해 노동력을 늘리게 되면 그만큼 분모의 $a$도 커지기 때문에 최적의 조합을 신중히 찾아야 합니다.

\[\frac{\pi}{a} = \frac{py - wa}{a}\]

Types of Producers

앞에서 살펴본 생산자 선호를 좀더 자세히 살펴봅니다.

Output-maximizing Producer

이 생산자는 이익 보다는 생산량 자체를 늘리는 것을 목표로 합니다.

\[\max f(a) \quad \text{subject to} \quad p f(a) - wa \ge 0\]

이때, 생산량을 최대로 늘리지만 $p f(a) \ge wa$를 만족하도록 하여 손해는 보지 않도록 해야 합니다.

왼쪽 그림을 먼저 봅시다. 생산 함수는 오목하기 때문에, 이익이 양수가 되는 지점도 있고, 음수가 되는 지점도 있습니다. 이때, $p f(a) = wa$가 되는 $a^{\ast}$는 제약 조건을 만족하는 최소한의 선택 입니다.

그리고 생산 함수는 생산자마다 다를 수 있습니다. 만약, $g(a) > f(a)$로 생산성이 더 높은 사람이 있다면, 이윤 0을 만족하는 $a^{\ast}$ 지점은 기존보다 더 오른쪽에 위치 합니다.

산출 극대화 생산자는 항상 $a^{\ast}$를 선택하게 됩니다. 왜냐하면 그 지점이 손해를 보지 않으면서 가장 큰 생산을 달성할 수 있는 지점이기 때문입니다. 그리고 생산 함수 $f(a)$가 오목 함수이기 때문에, 이 최적 지점도 유일하게 존재합니다.

Profit-maximizing Producer

이번에는 이익을 극대화 하는 것을 최우선으로 하는 생산자가 있습니다.

\[\max_a pf(a) - wa\]

이 생산자는 이윤 $\pi(a)$를 극대화 해야 하기 때문에, 아래의 경우를 만족하는 $a$를 찾아야 합니다.

\[\frac{\partial \pi(a)}{\partial a} = \frac{\partial (p f(a) - wa)}{\partial a} = 0\]

이걸 풀어내면 $p f’(a^{\ast}) = w$가 되는 지점 $a^{\ast}$가 이윤을 극대화 하는 지점이 됩니다.

이 지점은 곡선 $p f(a)$의 기울기가 $w$가 되는 지점임을 말하며, 이것은 그래프 상에서 직선과 곡선이 서로 접하는 지점에서 발생합니다.

만약 함수의 생산량이 $g(a) > f(a)$로 더 커진다면, 매출 $p g(a)$의 곡률이 더 커지게 되고 이에 따라서 생산자는 더 적은 투입량으로도 최대 이윤을 뽑을 수 있습니다!

마찬가지로 이윤 극대화 생산자도 항상 $a^{\ast}$ 만큼 재료를 투입 합니다. 왜냐하면, 그 지점이 이윤을 가장 극대화 하는 지점이고 생산자는 그 지점을 선호하기에, 결국 그 지점으로 수렴 합니다.

맺음말

이번 포스트에선 생산자 행동에 대해 처음 살펴보았습니다!

“생산 함수(Producer Function)“을 정의하였고, 최대 생산/이윤 생산자에 따른 행동도 간단하게 분석하였습니다.

\[\pi = p \cdot y - w \cdot a\]

다음 포스트에선 생산자의 비용에 대해 모델링 하는 “비용 함수(Cost Function)”에 대해 살펴봅니다!

➡️ Cost Function