Competitive Equilibrium

졸업을 위해 마지막 학기에 “미시경제학” 수업을 듣게 되었습니다. 경제학원론 수업을 재밌게 들어서 경제 쪽이랑 궁합이 좋은 줄 알고 신청 했는데, 웬걸… 이 과목은 사실상 수학과 과목 이었습니다.. ㅋㅋ 그래도 수학과 복수전공도 하고 있으니, 이 수업도 힘내서 잘 들어봅시다! 전체 포스트는 “미시경제학” 카테고리에서 확인하실 수 있습니다.

들어가며

Competitive Equilibrium

“경쟁 균형”은 어떤 교환 경제에서 $(p, a)$로 이뤄진 쌍을 말합니다.

이때, $p$는 재화의 가격 쌍 $(p_1, p_2)$이고, $a$는 개인들에게 할당 받은 재화 묶음을 말합니다.

Optimality of Choices

각 개인은 자신의 예산 안에서 “가장 만족스러운 선택”을 해야 합니다. 즉, $a(i)$는 예산 집합 $B(p, e(i))$ 안에서 최고로 선호하는 묶음 이어야 합니다.

Feasibility

할당 $a$는 전체 자원을 초과하지 않도록 해야 합니다.

\[\sum_i a(i) = \sum_i e(i)\]

Competitive Equilibrium Allocation

할당 $a$가 “경쟁 균형 할당”라고 불리려면, 주어진 가격 체계 $p$ 아래에서 $(p, a)$가

• 최적 선택 조건과
• 실현 가능성에 대한 조건

을 둘다 만족해야 합니다.

Scalable

만약, $(p, a)$가 경쟁 균형이라면, $(\lambda \cdot p, a)$도 경쟁 균형 입니다.

Price Taker

모든 개인은 같은 가격에 직면 합니다. 그리고, 그 가격에 영향을 미치지 못 합니다. 모든 개인은 동일한 가격 체계 $p = (p_1, p_2)$를 기준으로 자신의 소비를 결정 합니다. 개인은 가격을 주어진 것으로 받아드립니다. 이것을 “Price Taker”라고 합니다.

이 가정은 시장이 매우 크고, 그에 비해 개인은 아주 작은 존재일 때는 합리적 입니다. 많은 사람들이 시장에 참여하고, 그 누구도 압도적인 재화를 가지지 않는 시장에서는 합리적인 가정 입니다.

하지만 개인의 수가 적다면, 이 가정은 현실성이 떨어집니다.

Examples

Substitutable Goods

교환 시장에서 2명의 개인이 아래와 같이 초기 재화를 가지고 있습니다.

• $e(1) = (\alpha, 0)$
• $e(2) = (0, \beta)$

즉, 각 재화는 한명이 독점적으로 가지고 시작합니다.

그리고 두 사람 모두 $u(x) = x_1 + x_2$라는 효용 함수를 가집니다.

만약 가격이 $p = (1, 1)$라면, 균형은 $a = e$가 됩니다. 즉, 아무 거래 없이 그대로가 균형이 될 수 있습니다.

이것은 재화 1/2의 가격이 같기 때문에, 재화를 교환해도 이득이 없기 때문입니다.

그러나, 아래와 같은 할당도 “경쟁 균형”을 이룹니다.

• $a(1) = (\alpha - \epsilon, \epsilon)$
• $a(2) = (\epsilon, \beta - \epsilon)$

이것은 두 재화가 완전 대체제 이기 때문에 어떤 식으로 나눠 가져도 서로 만족하기 때문입니다.

만약, $p_1 \ne p_2$라면, 균형이 존재하지 않습니다!

예를 들어, 가격이 $p = (1, 2)$로 재화 1이 더 저렴하다고 합니다. 그럼, 효용 함수에 의해 모든 자본을 재화 1로 바꿔서 가장 많은 수량을 확보하는 것이 최고의 선택 입니다.

즉, 재화 1에 대한 수요는 폭발하지만, 재화 2에 대한 수요는 0이 되어 버립니다. 이때, 시장은 균형에 도달할 수 없습니다.

Complementary Goods

이번에도 교환 경제에 2명의 개인이 존재하고, 각 개인은 각 재화를 독점한 상태로 시작 합니다.

• $e(1) = (\alpha, 0)$
• $e(2) = (0, \beta)$

그런데, 이번에는 두 사람의 효용 함수가 $u(x) = \min(x_1, x_2)$로 “완전 보완재”로 표현 됩니다.

주어진 가격 체계가 $p = (1, 1)$라고 합시다. 그럼 각 개인의 소득은

• 개인1: $\alpha \cdot 1 + 0 \cdot 1 = \alpha$
• 개인2: $0 \cdot 1 + \beta \cdot 1 = \beta$

그리고 각 개인의 최적 소비 묶음은 아래와 같습니다.

\[\begin{aligned} x^{1} &= \left(\frac{\alpha}{1 + 1}, \frac{\alpha}{1 + 1}\right) \\ x^{2} &= \left(\frac{\beta}{1 + 1}, \frac{\beta}{1 + 1}\right) \end{aligned}\]

이때, 할당 조건이 현실성(feasibility)를 만족해야 하므로, 각 재화의 총합이 초기 재화의 값과 동일해야 합니다.

\[\begin{aligned} \frac{\alpha}{1 + 1} + \frac{\beta}{1 + 1} &= \alpha \\ \frac{\alpha}{1 + 1} + \frac{\beta}{1 + 1} &= \beta \end{aligned}\]

결국 두 식이 동일하기 때문에, 균형은 $\alpha = \beta$일 때만 성립 합니다!

일반화 하여, 주어진 가격 체계가 $p = (p_1, p_2)$라고 합시다. 그럼 각 개인의 소득은

• 개인1: $\alpha \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 = \alpha p_1$
• 개인2: $0 \cdot p_1 + \beta \cdot p_2 = \beta p_2$

그리고 각 개인의 최적 소비 묶음은

\[\begin{aligned} x^{1} &= \left(\frac{\alpha p_1}{p_1 + p_2}, \frac{\alpha p_1}{p_1 + p_2}\right) x^{2} &= \left(\frac{\beta p_2}{p_1 + p_2}, \frac{\beta p_2}{p_1 + p_2}\right) \end{aligned}\]

이때, 할당 조건이 현실성(feasibility)를 만족해야 하므로, 각 재화의 총합이 초기 재화의 값과 동일해야 합니다.

\[\begin{aligned} \frac{\alpha p_1}{p_1 + p_2} + \frac{\beta p_2}{p_1 + p_2} = \alpha \frac{\alpha p_1}{p_1 + p_2} + \frac{\beta p_2}{p_1 + p_2} = \beta \end{aligned}\]

마찬가지로 두 식이 동일하기 때문에, 균형은 $\alpha = \beta$일 때만 성립 가능하고, 이것은 가격 체계가 어떤 값을 가지든 성립합니다!

$\alpha \ne \beta$인 상황이라면 일반적으로 균형이 존재하지 않습니다. 그러나 만약 가격 체계의 가격 중 하나가 $p_i = 0$이라면, 특수한 균형이 존재할 수 있다고 합니다.

(이 부분은 시간이 없어서 스킵 했습니다!)

Walras’s Law

“왈라스 법칙”은 교환 경제에서 예산선 위에 있는 소비 할당이 갖는 특성에 대한 정리 입니다.

어떤 교환 경제에서 각 개인이 예산선 위에서 소비를 선택했다고 합시다. 그럼 아래가 자연스럽게 성립 합니다.

\[p \cdot a(i) = p \cdot e(i)\]

그럼, 어떤 하나의 재화에 대해서 시장 정리가 성립하면, 다른 재화에 대해서도 자동으로 성립 합니다.

\[\sum_i a_1(i) = \sum_i e_1(i) \iff \sum_i a_2(i) = \sum_i e_2(i)\]

이것은 시장에서 모든 사람이 자신의 예산을 전부 다 쓰고, 총 공급량과 총 수요가 일치한다면, 재화 하나만 맞춰주면 나머지 재화들은 자동으로 제약 조건을 만족한다는 것을 의미합니다.

Existence of a Competitive Equilibrium

(시간이 부족해서 짧게 요약 합니다 (미리 공부할 껄…))

경쟁 시장에서 균형이 존재하려면 아래 조건을 만족해야 합니다.

• 모든 개인의 수요 함수는 연속성을 가져야 합니다.
• 수요 증가 조건을 만족해야 합니다.
  • 충분히 낮은 가격 $p_i$에서는 모든 사람이 재화 $i$를 더 원해야 합니다.
• 공급 조건을 만족해야 합니다.
  • 충분히 높은 가격 $p_i$에서는 모든 사람이 재화 $i$를 팔고 싶어 해야 합니다.

이 세 가지 조건이 모두 만족된다면, 어딘가에 균형 가격 $p^{\ast}$가 존재해서 수요와 공급이 일치하는 경쟁 균형이 성립합니다!

Reopening Trade

“거래 재개”는 경쟁 균형에서 한번 거래가 끝난 뒤, 시장을 다시 열었을 때 무슨 일이 벌어지는지를 다룹니다.

사람들이 초기 상태에서 거래를 통해 $(p, a)$라는 경쟁 균형에 도달 했습니다.

그리고, 잠시 시장을 닫았다가, 다시 시장을 열었습니다(reopening)!

사람들이 새로운 초기 상태 $a$를 가지고 거래에 임하게 되지만, 경쟁 균형 $(p, a)$는 바뀌지 않습니다! 즉, 시장이 다시 열려도 거래는 일어나지 않고 상태가 유지 됩니다.

요약하면,

No trade from competitive equilibrium
경쟁 균형 이후에는 더이상 거래가 일어나지 않습니다.

맺음말

이어지는 포스트에선 “파레토 최적(Pareto Stability)”에 대해 살펴봅니다!

➡️ Pareto Stability

아좌잣!