Indivisible Goods and Money

졸업을 위해 마지막 학기에 “미시경제학” 수업을 듣게 되었습니다. 경제학원론 수업을 재밌게 들어서 경제 쪽이랑 궁합이 좋은 줄 알고 신청 했는데, 웬걸… 이 과목은 사실상 수학과 과목 이었습니다.. ㅋㅋ 그래도 수학과 복수전공도 하고 있으니, 이 수업도 힘내서 잘 들어봅시다! 전체 포스트는 “미시경제학” 카테고리에서 확인하실 수 있습니다.

들어가며

지난 챕터에서부터 “교환 경제”에 대해 살펴보았습니다. 이전에는 모든 재화와 소득을 “Divisible” 재화/소득이라고 간주 했습니다.

이번 포스트부터는 각 재화와 소득을 “불가분(Indivisible)”이라고 하고, 이것은 한 단위로 시장에서 거리된다고 가정 합니다. 즉, “이산적인(discrete)” 모델에 대해서 살펴봅니다.

예를 들어, “콘서트 티켓”, “항공권” 등이 이런 재화에 속합니다.

Modeling

경제 참여자 간의 초기 보유 상태가 다르게 시작합니다. 보통 $e_1 = (\alpha, 0)$, $e_2 = (0, \beta)$로 두고 시작하는데, 이것은 한 명이 초기 보유자, 다른 한명은 비보유자가 되어, 각각 판매자/구매자 역할을 맡도록 문제가 구성 됩니다.

요런 이산적인 교환 경제 시장에서 첫번째 재화는 “화폐(money)”이고, 두번째 재화는 불가분재화 입니다.

\[x_1 \in \mathbb{R}_+ \quad x_2 \in \left\{0, 1\right\}\]

즉, 하나는 연속 재화, 나머지 하는 0-1 재화인 상황 입니다.

Single Price and Personal Valuation

시장에는 거래가 이뤄지기 위한 “시장 가격 $p$“가 존재합니다. 아무도 이 가격을 조정할 수 없고, 재화를 판매하는 사람도 구매하는 사람도 이 가격을 수용하는 “가격 수용자(price taker)” 입니다.

그러나, 각 개인이 그 재화에 대해 느끼는 주관적인 가치도 있습니다. 이를 “Personal Valuation $v_i$”라고 합니다.

개인이 재화를 구매할지, 판매자가 재화를 판매할지는 자신의 가치 $v_i$와 시장 가격 $p$와의 비교로 결정 됩니다.

• 구매자
  • $p < v_i$
  • 시장 가격보다 개인 평가가 더 높습니다.
  • 구매자는 그 재화를 사고 싶습니다.
• 판매자
  • $p > v_i$
  • 개인 평가보다 시장 가격이 더 높습니다.
  • 판매자는 그 재화를 팔고 이윤을 남기고 싶습니다.
• 무차별/비거래
  • $p = v_i$
  • 재화를 사는 것이나 파는 것이나 만족도가 동일합니다.
  • 선택은 자유롭게 일어나고 결과를 정할 수 없습니다.

Example

개인 $A$, $B$, $C$가 아래와 같은 상황에 있습니다.

• 개인 $A$
  • 초기 보유 $(0, 0)$
  • 가치 $v_A = 8$
• 개인 $B$
  • 초기 보유 $(10, 1)$
  • 가치 $v_B = 5$
• 개인 $C$
  • 초기 보유 $(7, 0)$
  • 가치 $v_C = 6$

개인 $A$는 재화를 강하게 원합니다. 하지만, 보유한 금액이 없어서 거래에 참여할 수 없습니다.

$B$는 재화를 가지고 있지만, 그 가치는 낮게 평가하고 있습니다. $C$는 재화가 없고, 그걸 구매할 돈을 가지고 있습니다.

그래서 $B$와 $C$가 재화를 거래 합니다. 이때, 거래 가격은 $5 \le p \le 6$ 사이에서 결정 됩니다. 만약, $p = 5$로 거래 된다면,

• 개인 $B$
  • 초기 보유 $(15, 0)$
  • 가치 $v_B = 5$
• 개인 $C$
  • 초기 보유 $(2, 1)$
  • 가치 $v_C = 6$

로 새로운 상태에 도달하고, 이 상태가 안정점 입니다.

Preference and Utility

이런 교환 경제에서 개인의 선호를 결정하는 효용 함수는 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

\[u(x) = x_1 + v_i \cdot x_2\]

그리고 수업 자료에서는 $e_2(i) = 0$인 경우, 즉 불가분재화를 가지고 있는 사람의 경우라도, 자신이 매긴 개인적인 가치 $v_i$ 만큼은 지불할 수 있는 돈이 있다고 가정 합니다.

\[\text{Assume} \quad e_1(i) \ge v_i\]

이것은 사람들이 돈이 절대적으로 부족해서 불가분재화를 못 사는 경우는 없다는 가정 입니다.

Counter Examples

이산 교환 경제에서는 아래와 같은 것들을 가정 합니다.

• 모든 재화는 어떤 판매자와 구매자가 거래하든지 상관 없이 단일한 가격으로 거래 된다.
• 시장에서 개인 한 명은 시장 가격에 영향을 줄 수 없다. 즉, “가격 수용자”다.
• 모든 거래는 정해진 시장 가격으로 이뤄지며, 그 가격 외에는 거래가 불가능하다.

하지만, 이것은 현실에서 맞지 않을 수 있습니다. 어떤 판매자와 구매자가 거래하느냐에 따라 가격이 달리 형성 될 수 있기 때문 입니다.

예를 들어, 흥정을 잘하는 구매자/판매자에 따라 가격이 달라지는 경우가 있을 수 있습니다.

또, 시장에 구매자 $B_4$, $B_{10}$ 그리고 판매자 $S_0$, $S_6$가 있을 때, 이들은 각각 자신의 아래 첨자 만큼 해당 재화에 가치를 매겼습니다.

만약, $(B_{10}, S_6)$가 만나서 거래를 한다면, 가격은 6 ~ 10 사이에 결정 될 것 입니다. 반면에 $(B_{10}, S_0)$가 만나서 거래를 했다면, 가격은 0 ~ 10 사이에 결정 될 것 입니다! 즉, 구매자/판매자 마다 매기는 가치가 다르기 때문에 어떤 쌍을 매칭하느냐, 어떤 순서로 서로 만나느냐에 따라 거래 가격이 달라집니다.

이번에는 구매자 $B_{10}$가 다른 모든 판매자/구매자가 메긴 가치를 안다고 합시다. 그러면 구매자 $B_{10}$은 구매자 $B_4$가 재화를 구매하지 못하도록 $S_0$를 먼저 만나서 5 ~ 6 사이의 가격에 거래를 제안할 수 있습니다. 그러면 $B_{10}$은 거래를 성사할 수 있지만, $B_4$는 남은 $S_6$와 거래가 이뤄지지 않습니다.

수업에서 다루고 있는 “경쟁 균형”에 대한 이론은 “가격이 어떻게 형성 되는지”는 설명하지 않습니다. 단지, 가격이 이미 결정되어 있고, 모두가 그 가격을 알고 있다고 가정 합니다.

실제로 누가 먼저 만났는지, 둘 사이에 어떤 협상이 있었고, 정보 전파가 어떻게 이뤄졌는지는 고려하지 않고 분석 합니다.

맺음말

다음 포스트에선 이런 이산 교환 경제에서 “경쟁 균형”이 어떻게 형성 되는지를 살펴봅니다!

➡️ Competitive Equilibrium of Indivisible Exchange Economy