Exchange Economy with Uncertainty

졸업을 위해 마지막 학기에 “미시경제학” 수업을 듣게 되었습니다. 경제학원론 수업을 재밌게 들어서 경제 쪽이랑 궁합이 좋은 줄 알고 신청 했는데, 웬걸… 이 과목은 사실상 수학과 과목 이었습니다.. ㅋㅋ 그래도 수학과 복수전공도 하고 있으니, 이 수업도 힘내서 잘 들어봅시다! 전체 포스트는 “미시경제학” 카테고리에서 확인하실 수 있습니다.

들어가며

사람들은 항상 미래에 불확실성(Uncertainty)를 가지고 있습니다. 예를 들어 사람들의 소득은 평생 일정한 것이 아니고, 시간에 따라 늘어날 수도 있고 줄어들 수도 있습니다.

이런 불확실성을 완화하기 위해 사람들은 보험이나 파생상품과 같은 미래의 상황에 따라 재화가 지급되는 계약을 맺어서 위험을 분산시키는 행동을 합니다.

이런 계약은 개인과 개인이 맺을 수도 있습니다. 현재는 $A$라는 사람이 부유하고, $B$라는 사람이 가난합니다. 그런데, 미래에는 $A$가 가난하고 $B$가 부유할 수 있습니다. 두 사람은 계약을 통해 “부유한 사람이 가난한 사람을 돕는다”는 내용으로 합의합니다. 그러면, 두 사람 모두 자신의 미래 소득의 불확실성을 줄이고 보다 안정적인 소비와 생활을 영위할 수 있습니다.

Model with Uncertainty

단순화를 위해 세상에 2가지 상태가 발생할 수 있다고 합니다. 그리고 각 상태가 일어날 확률은 $\pi_k > 0$로 정의 합니다. 확률은 시장에 참여한 모든 사람들이 공통적으로 합의했고 받아들였다고 가정 합니다.

사람들은 미래에 어떤 상태에 발생하는지에 따라 지급이 이뤄지는 계약(Contract)을 사고 팝니다. 이 계약은 상태에 따라 돈을 받는 “조건부 상품”입니다.

시장은 이런 계약을 하나의 “재화”라고 생각합니다. 재화 $k$는 상태 $k$가 발생하면, 1 단위의 돈을 지급하고 상태가 발생하지 않으면 아무것도 지급하지 않습니다.

사람들은 번들 $(x_1, x_2)$를 가집니다. 이 번들은

• 상태 1일 때
  • $x_1$ 만큼의 돈을 받고
• 상태 2일 때
  • $x_2$ 만큼의 돈을 받습니다.

각 개인은 번들 $(x_1, x_2)$를 확률적으로 돈을 받는 복권(Lottery)으로 인식 합니다.

만약, $x_1 = x_2$인 번들이라면 상태에 상관 없이 항상 같은 금액을 받게 되므로 이것은 확실한 결과(sure outcome)을 의미합니다. 이 번들은 불확실성이 없기 때문에, 위험 회피자는 이 번들을 더 선호 합니다.

복권에 대한 선호는 “기대 효용“으로 표현된다고 가정 합니다.

\[u(x_1, x_2) = \pi_1 \cdot u^i(x_1) + \pi_2 \cdot u^i(x_2)\]

이때, $u^i(x)$는 돈 $x$에 대한 개인이 매기는 효용 입니다. 만약 어떤 사람은 돈이 단순이 1 단위의 가치를 갖는 $u^i(x) = x$인 상황이라면,

\[u(x_1, x_2) = \pi_1 \cdot x_1 + \pi_2 \cdot x_2\]

가 될 수도 있습니다.

각 개인의 효용 함수 $u^i(x)$는 오목함수이고, 미분 가능한 함수라고 가정 합니다.

\[u''(x) < 0\]

예를 들면, $u(x) = \sqrt{x}$ 또는 $u(x) = \ln x$ 같은 꼴이 이에 해당 합니다.

Indifference Curve

번들 공간 위에서 기대 효용이 같은 번들(=로또)의 집합을 정의할 수 있습니다.

\[\text{Indifference Curve} = \left\{ (x_1, x_2) \, : \, \pi_1 \cdot u^i(x_1) + \pi_2 \cdot u^i(x_2) = \text{constant} \right\}\]

여기에서 45도를 이루는 점선은 $(x_1 = x_2)$인 번들의 집합 입니다. 이 점선 위의 번들은 “sure outcome”입니다. 위험 회피자는 이 점선 위의 번들만 선택할 것 입니다.

Equilibrium Price

“균형 가격“은 MRS와 가격 비율이 일치할 때 성립 합니다.

\[\frac{p_1}{p_2} = \frac{\pi_1 \cdot u'(x_1)}{\pi_2 \cdot u'(x_2)}\]

만약, $x_1 = x_2$으로 동일한 “완전 보험” 상태라면, 아래의 식이 성립합니다.

\[\begin{aligned} p_1 : p_2 &= \pi_1 : \pi_2 \\ \\ \frac{p_1}{p_2} &= \frac{\pi_1}{\pi_2} \end{aligned}\]

즉, 발생 확률이 낮으면 해당 보험의 가격도 저렴 합니다.

Exchange Economy with Uncertainty

불확실성이 있는 교환 경제는 $<N, (u^i)_{i\in N}, (\pi_1, \pi_2), e>$로 표현합니다.

이때, $(u^i)_{i\in N}$는 각 개인의 효용 함수의 모음 입니다. 그리고 효용 함수는 오목 함수 $u^{\prime\prime}(x) < 0$입니다.

Competitive Equilibrium of Economy with Uncertainty

이런 불확실성이 존재하는 상황에서도, 사람들은 상태별로 다르게 지급되는 상품을 사고팔며 “기대 효용“을 극대화 하기 위해 행동 합니다.

이런 거래의 결과로 형성되는 가격과 자원 분배는 “수요=공급”이 일치하면서, 각 개인이 자기에게 최적인 선택을 하는 상태, “경쟁 균형”에 이르게 됩니다.

Total Amount is Equal

교환 경제 시장을 모델링 할 때, 시장에 풀린 전체 재화(money)의 수는 처음에 각 개인에게 분배된 총합을 넘지 않는다고 가정 합니다. 그리고 이 총합은 시간이 흘러도 더 늘어나지 않고 유지 된다고 합니다. (즉, 인플레이션과 디플레이션이 없습니다.)

Strictly Risk-averse and Perfect Insurance

그리고 각 개인은 “엄격히 위험 회피적(strictly risk-averse)”인 행동을 취합니다. 이것은 효용 함수가 “엄격히 오목(strictly concave)”한 경우를 말합니다.

이런 상황이라면, 경쟁 균형에서 개인들은 “서로 완벽한 보험“을 들어주게 됩니다. (서로 완벽한 보험…?)

서로 완벽한 보험이란 미래가 어떻게 되든 모든 개인이 상태에 관계없이 동일한 소비를 할 수 있도록 자산을 서로 나누는 상태를 말합니다.

예를 들어,

개인	상태 1	상태 2
A	100	50
B	80	100

인 상황이라면, 엄격히 위험 회피적인 각 개인은 서로 보험 계약을 체결하여 아래와 같이 불확실성을 제거합니다.

개인	상태 1	상태 2
A	75	75
B	75	75

이것을 “완전 보험” 상태라고 합니다.

단, 아래와 같은 상황에서 시작한다면 “완전 보험”에 도달하는 것이 불가능 합니다.

개인	상태 1	상태 2
A	100	50
B	80	100

이 상황은 상태1에서의 총소득과 상태2에서의 총소득이 다릅니다. $180 \ne 150$. 이것은 처음의 가정에 어긋 납니다.

맺음말

이어서 이번 포스트에서 다룬 내용을 변형한 시장에서 사람들이 어떻게 행동하는지 살펴봅니다.

➡️ Variation of Economy with Uncertainty