Economy with Capital and Labor

졸업을 위해 마지막 학기에 “미시경제학” 수업을 듣게 되었습니다. 경제학원론 수업을 재밌게 들어서 경제 쪽이랑 궁합이 좋은 줄 알고 신청 했는데, 웬걸… 이 과목은 사실상 수학과 과목 이었습니다.. ㅋㅋ 그래도 수학과 복수전공도 하고 있으니, 이 수업도 힘내서 잘 들어봅시다! 전체 포스트는 “미시경제학” 카테고리에서 확인하실 수 있습니다.

들어가며

이번 포스트에선 자본(Capital)과 노동(Labor)가 있는 경제에 대해 살펴봅니다.

이 경제에는 2명이 등장합니다.

• 자본가(Capitalist)
  • 생산 수단(=기술)을 소유하고, 노동자를 고용해 생산을 수행 합니다.
  • 생산물의 일부를 노동에 대한 대가(=임금)로 지급하고, 나머지는 자신이 소비합니다.
• 노동자(Worker)
  • 하루 시간을 어떻게 나눌지 결정 합니다.
  • 노동자의 시간은 일할 시간과 여가 시간으로 나뉩니다.
  • 노동자는 일한 만큼 임금을 받아서 소비하고, 나머지 시간은 여가로 보냅니다.

자본가는 주어진 임금(wage)를 기준으로 얼마나 노동을 살지(=노동자를 고용할지)를 결정 합니다. 그리고 자신의 생산 기술을 이용해 재화를 생산 합니다.

노동자는 얼마나 일할지 결정 합니다. 그리고 받은 임금으로 재화를 소비 합니다.

이 자본-노동 경제 모형에서 균형은 자본가와 노동자 사이의 노동 시간으로 결정 됩니다.

자본자가 노동자를 고용하고 싶은 노동 시간과 노동자가 실제로 일하고 싶은 시간이 동일해야 균형이 이뤄집니다. 즉, “노동 수요 = 노동 공급“이 성립해야 합니다.

Model

자본-노동 경제는 아래와 같이 구성 됩니다.

시장에는 두 재화만 있습니다. 소비재(consumption good)와 여가(leisure) 입니다.

그리고 두 사람이 있습니다. 한 명은 자본가(capitalist)로 생산 기술을 소유하고, 노동자를 고용하여 생산을 수행 합니다. 다른 한 명은 노동자(worker)로 자신의 시간을 일 그리고 여가로 나누어, 노동을 통해 임금을 벌고 소비를 합니다.

생산 함수 $f(a)$는 투입된 노동 시간 $a$를 사용해 생산을 수행합니다. 이를 통해 소비재가 $f(a)$ 만큼 생산 됩니다. 생산 함수 $f(a)$는

• $f(0) = 0$
  • 투입 노동이 0이면 생산도 0
• 증가 함수
  • 투입 노동이 늘면 생산도 늘어남
• 오목(concave) 함수
  • 투입 노동이 늘어나도 생산이 무한이 늘지는 않습니다.
  • 한계 생산 체감이 있습니다.

노동자는 1 단위의 시간을 가지고 있고, 이를 여가 시간과 노동 시간으로 나눕니다.

• 여가 시간 $l$
  • 휴식 시간 입니다.
• 노동 시간 $(1 - l)$
  • 자본가의 생산에 투입되어 일하는 시간 입니다.

노동자는 노동 시간에 따라 임금을 받고, 이를 소득으로 삼아 소비재 $x$를 소비합니다.

노동자는 $(l, x)$ 쌍에 대한 선호를 가지고 있습니다. 이때, $l$은 여가, $x$는 소비재의 양 입니다. 이 선호는

• 단조성
  • 더 많은 여가나 소비는 선호 됩니다.
• 연속적이고 볼록 합니다.
  • 여가와 소비 간의 균형을 선호 합니다.

Capitalist-Worker Economy

자본가-노동자 경제에 대한 수학적 정의를 해봅시다.

이 경제는 두 가지 핵심 요소 $<f, \succcurlyeq>$로 구성 됩니다.

• 자본가의 기술 $f$
  • 기술은 생산 함수 $f(a)$로 표현됩니다.
  • 자본가가 가진 생산 기술의 특성을 수학적으로 설명한 것 입니다.
  • 앞에서도 말했듯 생산 함수는 증가하는 오목 함수 입니다.
• 노동자의 선호 $\succcurlyeq$
  • 노동자는 소비재 $x$와 여가 $l$ 사이에서 선택 합니다.
  • 앞에서도 말했듯 노동자의 선호는 단조성·연속성·볼록성을 가집니다.

단순하게 접근하기 위해 시장에 자본가 한명과 노동자 한명만 존재한다고 합니다.

그리고 자본가와 노동자는 임금 $w$가 정해져 있다고 가정 합니다. 즉, $w$는 통제할 수 없는 외생 변수 입니다.

자본가는 이윤을 극대화 하기 위해 노동을 얼마나 고용할지 결정해야 합니다. 1 단위 노동에 대해 지불해야 하는 임금 $w$와 고용할 노동시간 $a$를 결정해야 합니다.

\[\underset{a}{\text{argmax}} \, f(a) - w \cdot a\]

노동자는 임금이 주어졌을 때, 자신의 여가와 소비 사이의 균형을 고민 합니다. 노동자의 소비 $x$는

\[x = w \cdot (1 - l)\]

로 결정되고, 결국 노동자는 $(l, w(1-l))$ 조합 중에 자신의 효용(=선호)를 가장 높이는 것을 선택해야 합니다.

처음에 임금 $w$가 주어진 값이라고 했는데요. 이 임금에 대해서 균형 임금 $w^{\ast}$을 찾아야 합니다. 이 균형 임금에서는

\[\text{Labor time need by Capitalist} = \text{Labor time wants by Worker}\]

조건이 성립하고, 이때 경쟁 균형이 성립 합니다.

Consumption-Production Plan

자본-노동 경제 $<f, \succcurlyeq>$에서의 계획은 아래와 같은 정보를 담은 쌍으로 상태를 나타냅니다.

\[((l, x), (a, z))\]

• 노동자의 여가 시간 $l$
• 노동자가 소비하는 소비재의 양 $x$
• 노동 시간 $a$
• 자본자가 소비하는 소비재의 양 $z$
  • 자본자도 생산만 하고 안 먹고 사는건 아니기 때문에, 생산된 $f(a)$ 중 일부를 노동자와 나누고 남은 양을 가져야 합니다.

이때, 위의 계획은 아래의 제약 조건을 만족합니다.

노동자에겐 하루 1단위의 시간만 있기 때문에,

\[a + l = 1\]

입니다.

그리고 노동시간 $a$ 만큼을 투입 했을 때, 생상되는 소비재의 총량은

\[f(a) = x + z\]

생산된 소비재는 노동자와 자본자가 둘이서 전부를 나눠 갖습니다. 일부를 저장 해두거나 하지는 않습니다.

Pareto Stable

어떤 소비-생산 계획 $((l, x), (a, z))$가 파레토 안정적이라면, 그 계획이 다른 어떤 소비-생산 계획보다 더 나은 계획이라는 것을 말합니다.

파레토 안정적인 계획은 다른 계획에 비해 자본가의 소비가 감소하지 않습니다. 즉,

\[z \ge z'\]

노동자의 효용이 떨어지지 않고, 적어도 하나는 명확히 개선됩니다.

\[(l, x) \succcurlyeq (l', x') \quad \text{and at least one strict}\]

Competitive Equilibrium

자본-노동 경제 $<f, \succcurlyeq>$에서 경쟁 균형은 5가지로 구성된 쌍 입니다.

\[(w^{\ast}, l^{\ast}, x^{\ast}, a^{\ast}, z^{\ast})\]

그리고 이 쌍은 아래 3가지 조건을 만족 합니다.

• Optimality of Worker’s Choice $(l^{\ast}, x^{\ast})$
  • 선택된 쌍은 소비자의 주어진 예산 제약 중 가장 만족스러운 것을 선택 합니다.
  • $\left\{ (l, x) \, : \, 0 \le l \le 1, \, x = w^{\ast} (1 - l)\right\}$
• Optimality of Capitalist’s Choice $a^{\ast}$
• Feasibility
  • 자본가는 이윤 $z$를 극대화 하는 $a$를 선택 합니다.
  • $z^{\ast} = f(a^{\ast}) - w^{\ast} \cdot a^{\ast}$
  • $(l^{\ast}, x^{\ast})$와 $(a^{\ast}, z^{\ast})$는 “consumption-production plan”을 만족 합니다.

Graphic View

수평축은 노동시간 $a$에 대한 것으로 하루에 얼만큼 노동에 사용하는지에 대한 비율 입니다.

수직축은 생산량 $f(a)$로 고용된 노동량 $a$만큼 투입 했을 때의 생산량이 표시됩니다.

생산량 $f(a)$는 $f(a) = x + z$로 분할 되어 자본가·노동자에게 분배됩니다. 생산 함수는 원점을 지나는 빨간 곡선으로 표현 됩니다.

노동자의 소득은 $w^{\ast} \cdot a^{\ast}$로 결정 됩니다. 이는 원점을 지나는 회색 직선으로 표현 됩니다.

파란 곡선은 소비자의 무차별 곡선입니다. 신기한 것은 여가 시간이 작아지면, 그만큼 생산 분배 $x$가 많아집니다. (당연하겠죠?) 그런데, 여가 시간의 비율이 아주 많아져도 소비자는 생산 분배 $x$를 많이 받길 원합니다. 이것은 여가 시간이 많아지면서 그만큼 소비재도 충분히 많이 필요하기 때문입니다.

생산곡선 위의 기울기 $w^{\ast}$의 직선은 생산 극대화의 제약식에서 유래 합니다. 자본가는 생산 극대화를 위해

\[\underset{a}{\text{argmax}} \, f(a) - w \cdot a\]

를 찾아야 하는데, 이는 $f’(a) = w$를 만족하는 노동시간 $a$를 찾는 문제이기 때문입니다.