Ring - 1

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

우리가 Group을 처음 접했을 때를 기억하는가? 이 부분은 Ring에 대한 정의와 소개를 다룬다.

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Definition. Ring

A ring $R$ is a non-empty set with two binary operations $+$, $\cdot$ s.t.

• $(R, +)$ is an abelian group.
• $(R, \, \cdot \,)$ is assoctiative, thus a semi-group.
• $+$, $\cdot$ 사이에 distributive law가 성립

\[\begin{aligned} (a+b) \cdot c &= a \cdot c + b \cdot c \\ a \cdot (b+c) &= a \cdot b + a \cdot c \end{aligned}\]

Definition. Commutative Ring

IF $a \cdot b = b \cdot a$ for $\forall a, b \in R$,

then a ring $R$ is a commutative.

단, 곱셈에 대해서 abelian ‘group’임을 말할 순 없음!!
(multiplication의 교환만 언급했지 multiplicative inverse를 보장하지는 않기 때문!)

만약 곱셈에 대해 abelian을 만족한다면, “Field“가 됨!!

Example.

\[\mathbb{Z}, \quad \mathbb{Q}, \quad \mathbb{R}, \quad \mathbb{C}\]

• 모두 $+$에 대해 abelian
• 모두 $\,\cdot\,$에 대해 abelian
• 모두 $+$, $\,\cdot\,$에 대해 distributive law 성립

Example. $M_n(\mathbb{R})$

\[M_n(\mathbb{R}) = \{ M \mid M \textrm{ is a } n \times n \textrm{ matrix with real entries}\}\] \[A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\]

• $+$의 항등원: $O$; 영행렬
• $A$의 $+$에 대한 역원: 모든 entry에 negative
• 분배법칙과 결합법칙도 성립!

하지만, $M_n(\mathbb{R})$은 non-commutative ring이다!

$\exists \; A, B$ s.t. $AB \ne BA$

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

이것은 $M_n(\mathbb{Z})$, $M_n(\mathbb{R})$, $M_n(\mathbb{C})$도 마찬가지이다!

Example. $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ - (1)

\[\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) = \{ f \mid f \textrm{ is a function } \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}\]

• $\forall \; x \in \mathbb{R}$, $(f+g)(x) := f(x) + g(x)$
• $\forall \; x \in \mathbb{R}$, $(f \cdot g)(x) := f(x) \cdot g(x)$

따라서 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$은 ring이 된다!
게다가 commutative ring이기도 함!

Example. $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ - (2)

• $+$는 여전히 point-wise operation

• $\;\cdot\;$에서 함수 합성인 $\circ$로 변경

• 분배법칙이 성립하는가?
  • $(f+g)\circ h \overset{?}{=} f\circ h + g\circ h$
    • OK!
  • $f\circ(g+h) \overset{?}{=} f\circ g + f\circ h$
    • 성립 X!!
    • (반례) $f(x) = e^x$, $g(x) = x$, $h(x) = 2x$

Example. $n\mathbb{Z}$

$<n\mathbb{Z}, +, \cdot>$ is a commutative ring.

Example. $\mathbb{Z}_n$

\[<\mathbb{Z}_n, +_n, \cdot_n>\]

• $+_n$: congruence addition modulo $n$
• $\cdot_n$: congruence muliplication modulo $n$

일반적으로 $\mathbb{Z}_n$은 commutative ring이 아니다. 하지만, 만약 $n$이 prime이라면, 좋은 성질들이 등장함!!

$\mathbb{Z}_n$ is a commutative ring!

Example. Direct product of rings
$R_1$, $R_2$, $\cdots$, $R_n$ are rings

\[R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\]

• 각자의 $+$에 대해서 abelian
• 각자의 $\;\cdot\;$에 대해서 assotiative

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Theorem.

$R$ is a ring, THEN

1. $0 \cdot a = a \cdot 0 = 0$
2. $a(-b)=(-a)b=-(ab)$
3. $(-a)(-b) = ab$

proof.

1. First we will show $0\cdot a = 0$.

\[\begin{aligned} 0 \cdot a &= (0+0)a = 0\cdot a + 0\cdot a \\ 0 \cdot a &= 0 \cdot a + 0 \cdot a \\ 0 \cdot a - (0 \cdot a) &= 0 \cdot a + 0 \cdot a - (0 \cdot a) \\ 0 &= 0 \cdot a \end{aligned}\]

따라서 $0\cdot a=0$이다.

$a\cdot 0 = 0$에 대해서도 동일한 방법으로 진행하면 된다.

2. We will show $a(-b)=-(ab)$.

Check

\[\begin{aligned} a(-b) + ab &= a(-b + b) \\ &= a \cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned}\]

따라서 $a(-b) + ab = 0$이고, 이에 따라 $a(-b) = -(ab)$.

3.

앞서 증명한 2번 성질에 의해 $(-a)(-b) = -(a(-b))$이다.

2번 성질을 한번 더 적용하면, $-(a(-b)) = -(-(ab))$이다.

따라서 $(-a)(-b) = -(-(ab))$이 된다.

이때, 역원의 역원은 자기자신이 되므로, $-(-(ab)) = ab$이다.

따라서 $(-a)(-b) = ab$.

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Ring Homomorphism

Definition. Ring homomorphism

A map $\phi: R \rightarrow R$ is a ring homomorphism, IF

(1) $\phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b)$, $\forall \; a, b \in R$; (abelian) group homomorphism

(2) $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$, $\forall \; a, b \in R$; semi-group homomorphism

Note. 1-1 Ring homomorphism

\[\ker \phi = \{0\} \iff \phi \textrm{ is 1-1}\]

Example.
For fixed $a\in R$, define $\phi_a$ as

\[\begin{aligned} \phi_a : \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) &\longrightarrow R \\ f &\longmapsto f(a) \end{aligned}\]

즉, 함수 $\phi_a$는 값 $a$에 대한 evaluation mapping임.

THEN, $\phi_a$ is a homomorphism.

• $\phi_a(f+g) = (f+g)(a) = f(a) + g(a) = \phi_a(f) + \phi_a(g)$
• $\phi_a(fg) = (fg)(a) = f(a)g(a) = \phi_a(f)\phi_a(g)$

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Ring Isomorphism

Definition. Ring Isomorphism

A function $\phi: R \longrightarrow R’$ is a ring isomorphism, IF

(1) $\phi$ is 1-1 & onto.

(2) $\phi$ is a ring homomorphism.

Note. inverse of Ring Isomorphism

IF $\phi$ is a ring isomorphism, THEN $\phi^{-1}$ is also a ring isomorphism.

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우리가 성질 별로 Group을 분류했듯이 Ring을 더 자세히 분류해보자.

Ring (part 2)에서는 Ring을 더 자세하게 분류한다!