Three Isomorphism Theorems

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

December 25, 2020 9 minute read

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

지금 다루는 Isomorphism Theorem을 완전히 이해하고 체득한다면, 군론 자체를 아주 깊게 이해할 수 있다 ㅎㅎ

1st Isomorphism Theorem; FHT Permalink

첫번재 Isomorphism Theorem은 이전의 포스트에서 이미 다루었다. FHT가 곧 1st Isomorphism Theorem이다!

Theorem. Fundamental Homormophism Theorem (FHT)

Let $ϕ : G ⟶ G^{'}$ be a group homo-.

Then,

$ϕ [G]$ is a group.
$G / \ker ϕ ≅ ϕ [G]$

Image from here

Lemma 34.4Permalink

Lemma.

Let $N ⊴ G$ , $H \leq G$ .

Then,

$H N = N H$
$H N \leq G$

만약 $H$ 역시 normal subgroup이라면, $H N ⊴ G$ 가 된다!

증명이 생각보다 쉽다!

proof.

1. $H N = N H$

Let $h \in H$ , $n \in N$ .

Then,

\begin{aligned} h n h^{- 1} \in N \\ ⟹ h n \in N h \\ ⟹ h n = n^{'} h for some n^{'} \in N \\ ⟹ ∴ H N \subseteq N H \end{aligned}

반대로 $h^{- 1} n h^{\in} N$ 로 잡는다면, $N H \subseteq H N$ 의 결과를 얻는다.

둘을 종합하면,

H N \subseteq N H \land N H \subseteq H N ⟹ H N = N H

$◼$

2. $H N \leq G$

Normal subgp과 일반 subgp만 있다면, $G$ 에 속하는 새로운 subgp을 유도할 수 있다는 명제다.

간단히 $H N$ 이 subgp인지 확인하면 된다.

(1) closed under opr

$(H N) (H N) = H (N H) N = H (H N) N = H N$

(2) identity

$e \in H \land e \in N ⟹ e \cdot e = e \in H N$

(3) inverse

$(h n)^{- 1} = n^{- 1} h^{- 1} \in N H = H N$

$◼$

Definition. Subgp generated by set $S$

$< S >$ : the subgroup of $G$ generated by $S$

< S > = ⋂_{S \subseteq H \leq G} H

이때, intersection of subgps는 여전히 subgp이라는 것이 알려져 있다.

즉, set $S$ 를 포함하는 subgroup 중 가장 작은 subgroup이 $< S >$ 이다.

$H$ join $K$ Permalink

Definition. $H$ join $K$

H \lor K := < H \cup K >

$H$ join $K$ 는 subgroup $H$ 와 $K$ 를 포함하는 가장 작은 subgroup이다.

※ 이때! 만약 $H ⊴ G$ 라면, $H \lor K = H K$ 가 된다!

“만약 $H ⊴ G$ 라면, $H \lor K = H K$ 가 된다!”라는 명제에 대해 보충해보고자 한다.

$H \cup K$ 를 포함하는 subgroup에는 당연히 $H$ 도 포함하고, $K$ 도 포함하고, $H K$ 와 $K H$ 포함하고 있을 것이다.

이때, 운이 좋아 $H K$ 와 $K H$ 연산으로 이미 Group을 이룬다면, 또 $H K = K H$ 라면, Lucky! 우리는 $< H \cup K >= H K$ 로 찾아냈다!!

하지만, 아쉽게도 $H K$ 가 꼭 Group을 이룬다는 보장은 없다 ㅠㅠ $h k \notin H, K$ 일 수도 있기 때문이다.

우리가 앞에서 살펴본 Lemma는 $H K$ 가 Group이 되는 조건을 제시한다.

H ⊴ G \land K \leq G ⟹ H K \leq G

따라서 $H$ 가 Normal subgp이라면, $H$ join $K$ 는 $H K$ 가 된다!!

2nd Isomorphism TheoremPermalink

Theorem. 2nd Isomorphism Theorem

Let $H \leq G$ , $N ⊴ G$ .

Then,

H N / N ≅ N / (H \cap N)

정리 자체는 정말 간결하다… 하지만, 내용을 한 문장으로 압축해 놓은 것이라 정리를 유도하는 데까지 필요한 뒷배경이 많은 편이다 ㅠㅠ

proof.

먼저 가정인 $H \leq G$ , $N ⊴ G$ 로부터 명제의 재료가 되는 factor group $H N / N$ 을 유도하자. 이 과정에서 앞부분에 나왔던 Lemma를 사용한다.

$H \leq G$ , $N ⊴ G$ 이므로 Lemma에 의해 $H N \leq G$ 이다.

Normal subgp에 대해선 아래의 명제가 성립한다.

\begin{aligned} For N \leq K \leq G, \\ N ⊴ G ⟹ N ⊴ K \end{aligned}

명제의 증명은 간단하니 여기에서는 생-략 한다.

이때, $N \leq H N \leq G$ 이고, $N ⊴ G$ 이므로 $N ⊴ H N$ 이 된다.

$N$ 이 $H N$ 의 normal subgroup이므로
$N$ 에 대한 $H N$ 의 Factor Group $H N / N$ 을 정의할 수 있다!

이번에는 동형식의 우변인 $H / (H \cap N)$ 을 유도해보자.

만약 $N ⊴ G$ 라면, $H \cap N ⊴ H$ 가 성립한다.

따라서 $(H \cap N)$ 에 대한 $H$ 의 Factor Group $H / (H \cap N)$ 을 정의할 수 있다!

드디어 증명의 본게임이다!

아래와 같은 homomorphism $ϕ$ 를 디자인 한다.

\begin{aligned} ϕ : H & ⟶ H N ⟶ H N / N \\ h & ⟼ h ⟼ h N \end{aligned}

이때, $ϕ$ 는 homo-와 homo-의 합성 이므로 역시 homo-이다.

또한, $ϕ (h) = h N$ 이기 때문에 $ϕ$ 는 onto이다.

이제 이 homo- $ϕ$ 의 kernel을 생각해보자.
우리는 $\ker ϕ = H \cap N$ 이 됨을 보일 것이다.

h \in \ker ϕ ⟹ ϕ (h) = h N = N

따라서 $h \in N$ 이고, $\ker ϕ \subseteq H \cap N$ 이다.

반대로,

x \in H \cap N ⟹ ϕ (x) = x N = N

따라서 $x \in \ker ϕ$ 이고, $\ker ϕ \subseteq H \cap N$ 이다.

따라서 $\ker ϕ = H \cap N$ 이다.

FHT에 의해 $H / \ker ϕ ≅ ϕ (H)$ 이다. 이때, $ϕ$ 가 onto 였으므로 $ϕ (H) = H N / N$ 이다.

따라서

H / (H \cap N) ≅ H N / N

Image from here

3rd Isomorphism TheoremPermalink

Theorem. 3rd Isomorphism Theorem

Let $H, K ⊴ G$ , $K \leq H$

Then,

G / H ≅ (G / K) / (H / K)

$◼$

유도 과정 자체는 2nd iso- theorem에 비해선 정말 쉬운 편이다 ㅎㅎ

proof.

Define a homomoprhism $ϕ$ as

\begin{aligned} ϕ : G / K & ⟶ G / H \\ g K & ⟼ g H \end{aligned}

Then, check properties of $ϕ$ .

(1) well-defined

Supp. $g K = g^{'} K$ , then

\begin{aligned} g K = g^{'} K \\ ⟹ g (g^{'})^{- 1} K = K \\ ⟹ g (g^{'})^{- 1} \in K \\ ⟹ g (g^{'})^{- 1} \in H (∵ K \leq H) \\ ⟹ g (g^{'})^{- 1} H = H \\ ⟹ g H = g^{'} H \end{aligned}

(2) $ϕ$ is onto

clear

(3) $ϕ$ is a homo-.

$ϕ (g_{1} K) ϕ (g_{2} K) = ϕ (g_{1} g_{2} K)$ (by factor representative opr)

따라서 $ϕ$ 는 homomorphism이다.

FHT에 의해

(G / K) / \ker ϕ ≅ ϕ (G / K)

이때, $\ker ϕ$ 는 아래와 같이 유도할 수 있다.

g K \in \ker ϕ ⟹ ϕ (g K) = g H = H ⟹ g \in H

따라서 $g K = h K \in H / K$ 이고, $\ker ϕ \subseteq H / K$ 가 된다.

반대로

h K \in H / K ⟹ ϕ (h K) = h H = H

따라서 $h K \in \ker ϕ$ 이고, $H / K \subseteq \ker ϕ$ 이다.

따라서 $\ker ϕ = H / K$ 이다.

다시 FHT에 의해 $(G / K) / \ker ϕ ≅ ϕ (G / K)$ 이므로

(G / K) / (H / K) ≅ G / H

$◼$

드디어 Isomorphism Thm 까지 도달했다!!

앞으로도 군론의 다양한 정리들과 사례들이 기다리고 있으니! 기대하시라!!!

Seokyun Ha (aka. bluehorn07)

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