Maximal Ideal & Prime Ideal
2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)
Theorem. Ideal + unity = Ring
Let $R$ be a ring with unity.
If
- $I \trianglelefteq R$
- $1 \in I$
then $I = R$.
proof.
Let $r \in R$, and $1 \in I$
by definition of Ideal $I$, $rI \subseteq I$
$r \cdot 1 \in I \implies r \in I \implies R \subseteq I \implies R = I$
$\blacksquare$
Corollary.
Field $F$ contains no proper non-trivial ideals.
즉, Field가 가지는 Ideal은 $\{ 0 \}$, $F$ 둘 뿐이다라는 말이다!
proof.
Let Ideal $I \triangleleft F$ be a proper ideal.
Supp. $I \ne \{ 0 \}$ to be non-trivial ideal.
For $i \in I$, there exist it inverse $i^{-1}$ in $F$. (Ring과 달리 inverse element가 존재한다.)
since $I$ is ideal, $i^{-1}I \subseteq I$.
따라서 $i^{-1} i = 1 \in I$
Ideal $I$에 대해 $1 \in I$라면, 위에서 증명한 정리에 의해 $I = F$가 된다.
이것은 $I$가 proper ideal이라는 처음 가정에 모순이다!
따라서 $F$에는 proper ideal이 존재하지 않는다. $\blacksquare$
Maximal Ideal
Definition.
$M$: maximal ideal of ring $R$
if
- $M \ne R$
- $M < N \triangleleft R$ implies $N = R$ ($M$보다 큰 ideal은 unit ideal인 $R$ 뿐이다.)
Example.
$p$: prime
Show $p\mathbb{Z} \triangleleft \mathbb{Z}$
즉, $p\mathbb{Z}$는 Maximal Ideal이다.
proof.
$\mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_p$
이때, $p\mathbb{Z}$는 simple group이다.
아래와 같은 정리에 따르면 $p\mathbb{Z}$는 maximal normal subgroup이 된다.
$M$ is a maximal normal subgroup of $G$ $\iff$ $G/M$ is simple.
$\mathbb{Z}$가 abelian이므로 모든 subgroup은 normal subgroup이다.
앞의 논의에서 $p\mathbb{Z}$가 maximal normal subgroup임을 확인했다.
이때, $p\mathbb{Z}$는 $Z$의 ideal이기도 하기 때문에, $p\mathbb{Z}$는 maximal ideal이다. $\blacksquare$
Maximal Ideal generates Field
Theorem.
$R$ : commutative ring + unity
$M \triangleleft R$ : maximal ideal
$\iff$ $R / M$ is a Field.
proof.
($\implies$)
($\implies$) Supp. $M$ is a Maximal Ideal.
(Goal) $R/M$ is a Field.
Since $M$ is an Ideal, $R/M$ is a Ring.
Also, $R$ is commutative, $R/M$ is a Commutative Ring.
(Check) inverse exist?
For $r \notin M$, $\overline{r} \ne \overline{0}$, and $\overline{r} \in R/M$.
Let $\overline{r} \cdot \overline{s} = \overline{1}$
\[\begin{aligned} \overline{r} \overline{s} &= \overline{1} \\ \overline{rs} &= \overline{1} \\ \overline{rs} - \overline{1} &= \overline{0} \\ \overline{rs - 1} &= \overline{0} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} rs - 1 &\in M \\ -1 &\in M - rs \\ 1 &\in (-M) + rs \\ 1 &\in M + rs \\ 1 &\in M + (r) \end{aligned}\]$rs$를 $(r)$로 바꾸었다. $(r)=rR$로 $r$로 생성된 Principal Ideal이다.
Claim. $M + (r)$은 Ideal이다.
$r(M + (r)) = rM + r(r) = M + (r)$
$(M+(r))r = Mr + (r)r = M + (r)$
$M$과 새롭게 정의한 $M + (r)$을 비교해보자.
$M + (r)$은 $M$을 완전히 포함하는 ideal이고, $r \notin M$이므로 아래의 식이 성립한다.
\[M < M + (r) \trianglelefteq R\]이때 $M + (r)$이 ideal이면서 $1$를 포함하므로 $M + (r) = R$이다.
즉, $\overline{r}$의 inverse인 $\overline{s}$를 가정하고 유도한 결과가 maximal ideal $M$의 정의에 부합한다.
따라서 $(\overline{r})^{-1} = \overline{s} \in R / M$이므로
$R / M$은 Field이다. $\blacksquare$
p.s. 교수님이 수업 때 하신 증명인데 뭔가 이상하게 마음에 안 든다 ;;
($\impliedby$)
Supp. $R/M$ : Field
Let $M < N \trianglelefteq R$.
Then, For $r \in N \setminus M$, $\overline{r} \ne M$ and $\overline{r} \in R/M$.
이때, $R/M$이 Field이므로, $\overline{r} \cdot \overline{s} = \overline{1}$인 $\overline{s} \in R/M$가 존재한다. ($s \in R$)
Claim. coset $M + (r) = M + rR$ is an Ideal.
(앞에서 확인했던 방식대로 Ideal임을 확인하면 된다.)
따라서 $M + (r)$은 Ideal이다.
$s \in R$이므로 $1 \in M + (r)$이 된다.
$M$ is a Maximal Ideal $\implies$ $0 \in M$.
$0 + r \cdot s = 1$ for some $s \in R$.
Ideal이 $1$을 포함하고 있으므로 $M + (r) = R$이 된다.
이때, $M < N$이고, $r \in N \setminus M$이므로
$M + (r) \subseteq N$이다.
그런데, $M + (r) = R$이므로 $R \subseteq N$이다.
따라서 $N = R$이다.
즉, $M < N \trianglelefteq R$에 대해 $N = R$이 되므로
$M$ is a Maximal Ideal. $\blacksquare$
Corollary.
$R$: commutative ring + unity
$R$ is a Field
$\iff$ $R$ has no proper non-trivial ideal.
앞에서 살펴봤던 Corollary에서 왼쪽 방향에 대한 명제가 추가된 따름 정리다!!
($\impliedby$)
Supp. the only ideals in $R$ is $\{ 0 \}$ and $R$.
(Goal) $R$ is a Field $\equiv$ inverse 有
Consider an ideal $rR$
then $\{ 0 \} < rR \trianglelefteq R$
$R$에는 ideal이 $R$ 하나 뿐이라고 가정했으므로 $rR = R$.
이때, $1 \in R$이므로 $1 \in rR$.
이것은 $1 = r \cdot s$ for some $s \in R$임을 말한다.
따라서 $r \in R$에 대한 inverse가 존재하므로 $R$은 Field이다. $\blacksquare$
Prime Ideal
Definition. Prime Ideal
Let $R$ be a commutative ring, and $N \trianglelefteq R$.
When $N$ is a “prime ideal”, then
for $a, b \in R$, $ab \in N$ implies $a \in N$ or $b \in N$.
(확실하진 않음.)
$N \trianglelefteq R$이 prime ideal이라면, $a \in N$은 prime elt over $R$이다?
Prime Ideal generates Integral Domain
Theorem.
$R$ : commutative ring + unity.
$N \triangleleft R$ : Prime Ideal
$\iff$ $R/N$ is an integral domain.
proof.
($\implies$)
Supp. $N$ is a Prime Ideal, and $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{0}$ for some $a, b \in R$.
(Goal) $\overline{a} = \overline{0}$ or $\overline{b} = \overline{0}$ in $R/N$.
\[\begin{aligned} &\overline{a} \overline{b} = \overline{ab} = \overline{0} = N \\ &\implies ab \in N \\ &\implies a \in N \quad \textrm{or} \quad b \in N \qquad (N \; \textrm{is a Prime Ideal}) \end{aligned}\]만약 $a \in N$라면, $\overline{a} = \overline{0}$이 된다.
이것이 곧 $R/N$이 Integral Domain임을 의미한다. $\blacksquare$
($\impliedby$)
Supp. $R/N$ is an Integral Domain.
(Goal) $N$ : Prime Ideal
Let $a, b \in R$ s.t. $ab \in N$.
(Goal) show $a \in N$ or $b \in N$
Since $ab \in N$, $\overline{ab} = \overline{0}$ in $R/N$.
Since $R/N$ is an integral domain, $\overline{a} = 0$ or $\overline{b} = 0$.
따라서 $a \in N$ or $b \in N$.
이것은 $N$이 Prime Ideal임을 의미한다. $\blacksquare$
Maximal Ideal implies Prime Ideal
Theorem.
Any Maximal Ideal of commutative ring is also a Prime Ideal.
proof.
Any Field is an Integral Domain.
($N$ : Maximal Ideal) $\iff$ ($R/N$ : Field)
$\implies$ ($R/N$ : Integral Domain) $\iff$ ($N$ : Prime Ideal)
따라서 Maximal Ideal은 Prime Ideal이다. $\blacksquare$