β€œν™•λ₯ κ³Ό 톡계(MATH230)” μˆ˜μ—…μ—μ„œ 배운 것과 κ³΅λΆ€ν•œ 것을 μ •λ¦¬ν•œ ν¬μŠ€νŠΈμž…λ‹ˆλ‹€. 전체 ν¬μŠ€νŠΈλŠ” Probability and Statisticsμ—μ„œ ν™•μΈν•˜μ‹€ 수 μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ 🎲

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β€œν™•λ₯ κ³Ό 톡계(MATH230)” μˆ˜μ—…μ—μ„œ 배운 것과 κ³΅λΆ€ν•œ 것을 μ •λ¦¬ν•œ ν¬μŠ€νŠΈμž…λ‹ˆλ‹€. 전체 ν¬μŠ€νŠΈλŠ” Probability and Statisticsμ—μ„œ ν™•μΈν•˜μ‹€ 수 μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ 🎲

Set-upPermalink


Definition. Experimenet

any process that generates a set of data.


Definition. Sample Space S

The set of all possible outcomes of a statistical experiments.

Each outcome in a sample space S is called a <sample point>.


Definition. Event

Any subset of sample space.

ex: event A that {the outcome when a die is tossed is divisible by 3}.

<Event>λ₯Ό μ •μ˜ν•¨μœΌλ‘œμ¨ μš°λ¦¬λŠ” outcome 전체가 μ•„λ‹Œ 관심 μžˆλŠ” 일뢀 outcome의 집합을 νŠΉμ •ν•˜κ²Œ λœλ‹€. λ‚˜μ•„κ°€ EventλŠ” μΌμ’…μ˜ 집합이기 λ•Œλ¬Έμ— μ§‘ν•©μ—μ„œ μ“°λŠ” λ‹€μ–‘ν•œ μ—°μ‚°μžλ“€, Ac, A∩B, AβˆͺB, Aβˆ–B 등을 μ‚¬μš©ν•΄ 더 λ‹€μ–‘ν•œ Event 집합듀을 μ‚΄νŽ΄λ³Ό μˆ˜λ„ μžˆλ‹€!


Counting Sample PointsPermalink

Sample Space의 μ›μ†ŒμΈ Sample Pointsλ₯Ό μ„ΈλŠ” 것은 <ν™•λ₯ >을 μ •μ˜ν•˜λŠ” 데에 쒋은 접근이닀! 이 뢀뢄에선 Sample Pointsλ₯Ό μ„ΈλŠ” κ·œμΉ™λ“€μ— λŒ€ν•΄μ„œ μ†Œκ°œν•œλ‹€.


Rule. Product Rule

If an operation can be performed in n1 ways, and if for each of these ways a second operation can be performed in n2 ways, then the two operations can be performed together in n1n2 ways.

<곱의 κ·œμΉ™ Product Rule>을 κ°„λ‹¨ν•˜κ²Œ μƒκ°ν•˜λ©΄ μ•„λž˜μ™€ 같은 문제라고 생각할 수 μžˆλ‹€.


Rule. Inclusion-Exclusion Principle

<포함-배제 원리>라고 λΆˆλ¦¬λŠ” 이 기법은 μœ ν•œ 집합 μ‚¬μ΄μ˜ ν•©μ§‘ν•©μ˜ μ›μ†Œμ˜ 갯수λ₯Ό μ„ΈλŠ” 기법이닀. λ‹€λ₯΄κ²Œ λ§ν•˜λ©΄, 경우의 수λ₯Ό μ„ΈλŠ” λ¬Έμ œμ—μ„œ <ν•©μ˜ κ·œμΉ™ Additive Rule>이라고 ν•  수 μžˆλ‹€.

|AβˆͺB|=|A|+|B|βˆ’|A∩B|

PermutationPermalink

μ•žμ—μ„œ μ‚΄νŽ΄λ³Έ <Product Rule>은 n1, n2 두 가지 κ²½μš°μ— λŒ€ν•œ 경우의 수λ₯Ό μ„ΈλŠ” κ·œμΉ™μ΄μ—ˆλ‹€. λ§Œμ•½ 이것을 k개 만큼의 κ°€μ§“μˆ˜λ‘œ ν™•μž₯ν•˜λ©΄, <Generalized Product Rule>을 얻을 수 μžˆλ‹€.

<μˆœμ—΄ Permutation>은 이 <Generalized Product Rule>을 톡해 μ–»λŠ” κ²°κ³Ό 쀑 ν•˜λ‚˜λ‹€.


Definition. Permutation

A <Permutation> is an arrangement of all or part of a set of objects.

n개 μ›μ†Œμ˜ 집합 λ‚΄μ—μ„œ μš°λ¦¬λŠ” n개 μ›μ†Œμ˜ arrangementλ₯Ό 생각할 μˆ˜λ„ μžˆμ§€λ§Œ, r≀n개 μ›μ†Œμ˜ arrangementλ₯Ό 생각해볼 μˆ˜λ„ μžˆλ‹€.

이것을 잘 μ •λ¦¬ν•˜λ©΄ μ•„λž˜μ™€ κ°™λ‹€.


Theorem. Permutation nPr

The number of permutations of n distinct objects taken r at a time is

nPr=n!(nβˆ’r)!


Theorem. circular permutation

<circular permutation>μ΄λΌλŠ” μž¬λ°ŒλŠ” 상황도 μžˆλŠ”λ°, μ΄λ²ˆμ—” n개 μ›μ†Œλ₯Ό μ›ν˜•μœΌλ‘œ λ°°μ—΄ν•˜λŠ” κ°€μ§“μˆ˜λ₯Ό λ§ν•œλ‹€. 이 경우, 원이 ν•œμΉΈμ”© νšŒμ „ν•΄λ„ λ™μΌν•œ μ›ν˜• 배열이기 λ•Œλ¬Έμ— 전체 κ°€μ§“μˆ˜μ—μ„œ n번 만큼의 λ°˜λ³΅μ„ μ œμ™Έμ‹œμΌœμ•Ό ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ (nβˆ’1)! 만큼의 경우의 μˆ˜κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€.


CombinationPermalink

<μ‘°ν•© Combination>은 β€œμˆœμ„œβ€λ₯Ό λ¬΄μ‹œν•˜κ³  경우의 수λ₯Ό μ…€ λ•Œ μ‚¬μš©ν•˜λŠ” 접근이닀.


Theorem. Combination nCr

The number of combinations of n distinct objects taken r at a time is

nCr=(nk)=n!r!(nβˆ’r)!


Theorem. Pascal’s Triangle

<파슀칼의 μ‚Όκ°ν˜• Pascal’s Triangle>이라고 λΆˆλ¦¬λŠ” 이 곡식은 <μ‘°ν•©>μ—μ„œ μ•„λž˜μ™€ 같은 식이 성립함을 κΈ°μˆ ν•œλ‹€.

(nk)=(nβˆ’1kβˆ’1)+(nβˆ’1k)

증λͺ…은 생각보닀 κ°„λ‹¨ν•œλ°, n μ›μ†Œ 쀑에 νŠΉμ • μ›μ†Œ aλ₯Ό 미리 λ½‘μ•˜λŠλƒ μ•ˆ λ½‘μ•˜λŠλƒλ‘œ κ°€μ§“μˆ˜λ₯Ό λ‚˜λˆ„μ–΄ μœ λ„ν•˜λ©΄ λœλ‹€.

  • aλ₯Ό 이미 μ„ νƒν•œ 경우, 남은 nβˆ’1개 μ›μ†Œ 쀑 kβˆ’1개λ₯Ό μ„ νƒν•˜λ©΄ λœλ‹€.
(nβˆ’1kβˆ’1)
  • aλ₯Ό λ°°μ œν•˜κ³  μ„ νƒν•˜λŠ” 경우, 남은 nβˆ’1개 μ›μ†Œ 쀑 k개λ₯Ό μ„ νƒν•˜λ©΄ λœλ‹€.
(nβˆ’1k)

본인의 경우, μ‹μ—μ„œ nβˆ’1 뢀뢄이 κ³΅ν†΅λ˜λŠ” κ±Έ 보고, 이λ₯Ό 톡해 μœ„μ˜ 아이디어λ₯Ό λ– μ˜¬λ Έλ‹€.