Bernoulli Distribution

“확률과 통계(MATH230)” 수업에서 배운 것과 공부한 것을 정리한 포스트입니다. 전체 포스트는 Probability and Statistics에서 확인하실 수 있습니다 🎲

몇몇 Distribution의 경우 현실을 모사하고 잘 설명하기 때문에 유용하게 사용된다. 이번 포스트에선 Discrete RV에서 볼 수 있는 유명한 Distributions을 살펴본다. 각 Distribution이 다른 분포에 대한 Motivation이 되기 때문에 그 의미를 곱씹고, 충분히 연습해야 한다.

Bernoulli Distribution

<Bernolli Distribution>은 동전 던지기에 대한 Distribution이다. 좀더 일반화해서 말하면, Sample space에서 단 두개의 sample point를 가질 때, Bernoulli Distribution이라고 한다.

Definition.

(1) A <Bernoulli trial> is an experiment whose outcomes are only success or failure.

(2) A RV $X$ is said to have <Bernoulli Distributions> if its pmf is given by

\[f(x) = p^x \cdot (1-p)^{1-x}\]

We denote it as

\[X \sim \text{Bernoulli}(p)\]

여기서 주의할 점은 <Bernoulli Trial>은 딱 한번만 시행하는 것이다! Trial을 여러번 한다면, 뒤에 나올 <Binomial Distribution>이 된다.

Theorem.

If $X$ is a Bernoulli RV, then

• $\displaystyle E[X] = \sum x f(x) = 1 f(1) = p$
• $\displaystyle \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p (1-p) = pq$

맺음말

이어지는 포스트에선 좀더 복잡한 형태의 이항 분포를 다룬다. 🤩

• HyperGeometric Distribution
• Geometric Distribution
• Poisson Distribution