Fourier Series

2019-2학기, 대학에서 들은 ‘미분방정식’ 수업을 복습하는 차원에서 정리하게 된 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

Introduction to Fourier Series

<푸리에 급수; Fourier Series>에 대해 다루기 전에 이것과 비슷한 <테일러 급수; Taylor Series>에 대해 잠깐 언급하고 넘어가자.

미적분학에서 임의의 함수 $f(x)$는 다항식의 合 형태로 근사(approximate)할 수 있었다.

"Every smooth function can be locally approximated by low dimensional polynomials!"
-- Talyor's Theorem

이번에 살펴볼 <푸리에 급수>에 따르면, 함수 $f(x)$가 piecewise continuous하고 periodic function일 때, $\sin$, $\cos$ 함수로 적절히 근사할 수 있다!

"A periodic function $f(x)$ which is reasonably continuous may be expressed as the sum of a series of sine or cosine terms, each of which has specific AMPLITUDE and PHASE coefficients known as Fourier coefficients."
-- Fourier's Theorem

<푸리에 급수>를 본격적으로 다루기 전에 몇가지 사전 지식을 살펴보자. 그리 어렵지도 않다 ㅎㅎ

Definition. fundamental period

If a function $f(x)$ is

\[f(x) = f(x + T) \quad \text{for some} \; T > 0\]

then $f(x)$ is a <periodic function>.

이때, periodic function의 주기(period) $T$ 중 가장 작은 값을 <fundamental period>라고 한다.

당연해 보이는 개념이긴 하지만 <푸리에 급수>를 정의하는데 <fundamental period>의 개념이 사용된다. 😁

삼각함수를 예로 들어 <fundamental period>가 어떻게 등장하는지 살펴보자.

1. $\cos(x)$

fundamental period: $2\pi$

2. $\cos(2\pi x)$

fundamental period: $1$

3. $\cos(2\pi x / L)$

fundamental period: $L$

세 번째 식의 형태에 익숙해지는 게 좋다. 위의 식을 기준으로 모든 삼각함수의 <fundamental period>를 구한다.

ex1: $\cos (5 x)$ → ($5 = 2\pi/L$) → ($L = 2 \pi / 5$)

ex2: $\cos (7\pi x)$ → ($7\pi = 2\pi/L$) → ($L = 2 / 7$)

Definition. orthogonality for functions

vector의 직교성(orthogonality)은 “내적(inner product) 값이 0이 됨”으로 정의했었다.

<푸리에 급수>에서는 함수 $u$, $v$에 대한 직교성을 아래와 같이 적분에 의해 정의한다!

\[(u, v) = \int_{\alpha}^{\beta} u(x) v(x) \; dx\]

이때, $[\alpha, \beta]$는 함수 $u$, $v$가 정의되는 구간이다.

만약, 적분 $(u, v)$의 값이 0이라면, 함수 $u$, $v$가 서로 직교한다고 한다.

삼각함수에서의 직교성(orthogonality)를 확인해보자. <푸리에 급수>를 전개하는 데도 자주 사용할 성질들이니 눈여겨 보자!

1. $\cos$ and $\cos$

\[\int_{-L}^L \cos \frac{m\pi x}{L} \cos \frac{n\pi x}{L} \; dx = \begin{cases} 0 & m \ne n \\ L & m = n \end{cases}\]

2. $\sin$ and $\sin$

\[\int_{-L}^L \sin \frac{m\pi x}{L} \sin \frac{n\pi x}{L} \; dx = \begin{cases} 0 & m \ne n \\ L & m = n \end{cases}\]

3. $\cos$ and $\sin$

\[\int_{-L}^L \cos \frac{m\pi x}{L} \sin \frac{n\pi x}{L} \; dx = 0\]

즉, $n=m$ 경우만 제외하고는 모두 직교한다고 보면 된다!!

이제 <푸리에 급수>를 이해하기 위한 모든 것을 살펴봤다. 생각보다 그렇게 많은 준비가 필요하진 않았다 😊

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Fourier Series

\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} \left( a_m \cos \frac{m\pi x}{L} + b_m \sin \frac{m\pi x}{L} \right)\]

위의 식은 주기 $2L$을 갖는 주기함수 $f(x)$를 <푸리에 급수> 형태로 근사했을 때의 형태다. 지금부터 우리의 목표는 위의 근사식에 존재하는 모든 계수 $a_n$, $b_n$의 값을 결정하는 것이다!! 그리고 그 과정에서 쓰는 테크닉은 <직교성; Orthogonality>, 단 하나 뿐이다! 😉

1. $a_0$ 결정

<푸리에 급수>의 양변에 주기 $2L$ 만큼 적분을 취한다.

\[\int_{-L}^L f(x) \; dx = \int_{-L}^L \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} \left( a_m \cos \frac{m\pi x}{L} + b_m \sin \frac{m\pi x}{L} \right) \right] \; dx\]

먼저, $\sum$ 안에 들어있는 식은 적분 과정에서 모두 0이 된다. 따라서, 아래와 같이 간단한 식을 얻는다.

\[\int_{-L}^L f(x) \; dx = \int_{-L}^L \frac{a_0}{2} \; dx\]

식을 정리하면,

\[\int_{-L}^L \frac{a_0}{2} \; dx = 2L \cdot \frac{a_0}{2} = a_0 L = \int_{-L}^L f(x) \; dx\]

따라서, 계수 $a_0$는

\[a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \; dx\]

$\blacksquare$

2. $a_n$ 결정

양변에 $\cos (n\pi x/L)$를 곱한 후, 적분

\[\begin{aligned} &\int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} \; dx \\ &= \int_{-L}^L \left[ \frac{a_0}{2} \cos \frac{n\pi x}{L} + \sum_{m=1}^{\infty} \left( a_m \cos \frac{m\pi x}{L} \cos \frac{n\pi x}{L} + b_m \sin \frac{m\pi x}{L} \cos \frac{n\pi x}{L} \right) \right] \; dx \end{aligned}\]

이때, introduction에서 살펴본 삼각함수의 직교성에 의해 아래와 같이 간단한 식을 얻는다.

\[\int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} \; dx = \int_{-L}^L a_n \cos^2 \frac{n\pi x}{L} \; dx = a_n L\]

따라서, 계수 $a_n$은

\[a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} \; dx\]

$\blacksquare$

3. $b_n$ 결정

양변에 $\sin (n\pi x / L)$을 곱한 후, 적분

\[\begin{aligned} &\int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \; dx \\ &= \int_{-L}^L \left[ \frac{a_0}{2} \sin \frac{n\pi x}{L} + \sum_{m=1}^{\infty} \left( a_m \cos \frac{m\pi x}{L} \sin \frac{n\pi x}{L} + b_m \sin \frac{m\pi x}{L} \sin \frac{n\pi x}{L} \right) \right] \; dx \end{aligned}\]

$a_n$의 경우와 마찬가지로, 삼각함수의 직교성을 적용하면

\[b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \; dx\]

따라서, 계수 $b_n$은

\[b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \; dx\]

$\blacksquare$

야호! <푸리에 급수>로 근사하기 위해 필요한 계수에 대한 공식을 모두 얻었다. 이제 이 공식에 맞춰서 주기함수 $f(x)$에 대한 <푸리에 급수>를 유도하면 된다 😁

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Example.

(바빠서 패-스)

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이어지는 포스트에서는 <푸리에 급수>를 복소지수 형태로 표현하는 방식에 대해 살펴볼 것이다. <푸리에 변환>을 기술할 때 주로 이 복소지수 형태를 사용하기 때문에, <푸리에 변환>을 공부하려면 꼭 미리 알고 있어야 한다.

👉 Fourier Series (Complex Representation)