Fourier Series (Complex Representation)

2019-2학기, 대학에서 들은 ‘미분방정식’ 수업을 복습하는 차원에서 정리하게 된 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

June 9, 2021 9 minute read

2019-2학기, 대학에서 들은 ‘미분방정식’ 수업을 복습하는 차원에서 정리하게 된 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

사실 정규 수업에서 다룬 내용은 아니고, <푸리에 변환>을 공부하다보니 이 부분이 필요해서 정리하게 되었다 😆

<푸리에 변환>을 기술할 때 주로 이 복소지수 형태를 사용하기 때문에, <푸리에 변환>을 공부하려면 이 부분을 꼭 알고 있어야 한다 🤯

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

이번 포스트에서 우리에게 필요한 도구는 <오일러 공식>, 단 하나면 충분하다 😎

먼저, <푸리에 급수>의 삼각함수 형태를 기술하면 아래와 같다.

f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \cos \frac{m π x}{L} + b_{m} \sin \frac{m π x}{L})

시작하기 전에 위의 형태를 약간 다듬어야 한다. 위의 식에서 $π / L$ 를 주파수 $ω$ 로 대체한다.

f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \cos m ω x + b_{m} \sin m ω x)

사실 아이디어 자체는 간단하다. 삼각함수 $\cos$ , $\sin$ 를 지수 형태로 표현한 후에 <푸리에 급수>에 대입해주기만 하면 된다. 복소함수론(MATH210)을 들었다면, 공식은 쉽게 유도할 수 있을 것이다.

\cos θ = \frac{1}{2} (e^{i θ} + e^{- i θ})

\sin θ = \frac{1}{2 i} (e^{i θ} - e^{- i θ})

이제 위의 공식에 따라 <푸리에 급수>의 식에 지수함수를 대입해주자!!

\begin{aligned} \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \cos m ω x + b_{m} \sin m ω x) \\ = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \cdot \frac{1}{2} (e^{i m ω x} + e^{- i m ω x}) + b_{m} \cdot \frac{1}{2 i} (e^{i m ω x} - e^{- i m ω x})) \end{aligned}

위의 식에서 지수함수를 기준으로 식을 묶어주자.

\begin{aligned} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \cdot \frac{1}{2} (e^{i m ω x} + e^{- i m ω x}) + b_{m} \cdot \frac{1}{2 i} (e^{i m ω x} - e^{- i m ω x})) \\ = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} ((\frac{a_{m}}{2} + \frac{b_{m}}{2 i}) \cdot e^{i m ω x} + (\frac{a_{m}}{2} - \frac{b_{m}}{2 i}) \cdot e^{- i m ω x}) \\ = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (\frac{1}{2} (a_{m} - i b_{m}) \cdot e^{i m ω x} + \frac{1}{2} (a_{m} + i b_{m}) \cdot e^{- i m ω x}) \end{aligned}

일단 여기까지 식을 전개해두자. 나중에 다시 방문할 예정이니 식의 형태는 기억해두자.

이번에는 <푸리에 급수>의 계수에 대한 식을 복소지수 형태로 표현해보자.

1. $a_{0}$

바꿀게 없다.

a_{0} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) d x

2. $a_{n}$

\begin{aligned} a_{n} & = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) \cos m ω x d x \\ = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) \frac{1}{2} (e^{i m ω x} + e^{- i m ω x}) d x \\ = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{i m ω x} d x + \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{- i m ω x} d x \end{aligned}

3. $b_{n}$

마찬가지로

b_{n} = \frac{1}{2 i L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{i m ω x} d x - \frac{1}{2 i L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{- i m ω x} d x

위의 형태보다는 아래의 형태가 더 선호된다.

i b_{n} = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{i m ω x} d x - \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{- i m ω x} d x

$a_{n}$ 과 $i b_{n}$ 익숙하지 않은가? 우리가 <푸리에 급수>를 복소지수 형태로 변환 했을 때 본 계수 부분이다!! 위에서 얻은 푸리에 계수를 식에 대입해보자!

f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (\frac{1}{2} (a_{m} - i b_{m}) \cdot e^{i m ω x} + \frac{1}{2} (a_{m} + i b_{m}) \cdot e^{- i m ω x})

1. $(a_{n} - i b_{n}) / 2$

\begin{aligned} \frac{1}{2} (a_{n} - i b_{n}) & = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{- i n ω x} d x \\ = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{- i n ω x} d x \end{aligned}

2. $(a_{n} + i b_{n}) / 2$

\begin{aligned} \frac{1}{2} (a_{n} + i b_{n}) & = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{i n ω x} d x \\ = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{i n ω x} d x \end{aligned}

이번엔 [1, 2]에서 얻은 두 식을 $A_{n}$ , $B_{n}$ 으로 치환하자. 그러면, 전체 식은 아래와 같이 변한다.

\begin{aligned} f (x) & = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (A_{m} \cdot e^{i m ω x} + B_{m} \cdot e^{- i m ω x}) \\ where \\ a_{0} & = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) d x \\ A_{n} & = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{- i n ω x} d x \\ B_{n} & = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{i n ω x} d x \end{aligned}

이때, 따로 떨어져 있는 $a_{0}$ 를 $A_{n}$ 의 식으로 통합하자.

a_{0} = A_{0} = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{0} d x

그러면,

f (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} A_{m} \cdot e^{i m ω x} + \sum_{m = 1}^{\infty} B_{m} \cdot e^{- i m ω x}

위의 식에서 더 간단하게 만들 수 있다! 😲 $A_{m}$ 과 $B_{m}$ 을 하나로 합쳐보자!

식에서 $A_{n}$ 에 대한 부분합은 $0$ 부터 $\infty$ 까지, $B_{n}$ 에 대한 부분합은 $1$ 부터 $\infty$ 까지 수행한다. 이때, $B_{n}$ 에 대한 부분을 $1$ 부터가 아니라 $- 1$ 부터 $- \infty$ 까지 수행하도록 식을 바꿀 수 있다!

\begin{aligned} \sum_{m = 1}^{\infty} B_{m} \cdot e^{- i m ω x} & = \sum_{m = - 1}^{- \infty} B_{- m} \cdot e^{- i (- m) ω x} \\ = \sum_{m = - 1}^{- \infty} B_{- m} \cdot e^{i m ω x} \end{aligned}

이때, $B_{- n}$ 은

\begin{aligned} B_{n} & = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{i n ω x} d x \\ B_{- n} & = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{i (- n) ω x} d x \\ = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{- i n ω x} d x \\ = A_{n} \end{aligned}

즉, $B_{- n}$ 은 곧 $A_{n}$ 이다. 따라서,

\sum_{m = 1}^{\infty} B_{m} \cdot e^{- i m ω x} = \sum_{m = - 1}^{- \infty} A_{m} \cdot e^{i m ω x}

이제 <푸리에 급수>에 대한 식을 최종적으로 기술하면 아래와 같다.

f (x) = \sum_{- \infty}^{\infty} C_{m} \cdot e^{i m ω x}

부분합의 범위가 $- \infty$ 부터 $\infty$ 까지로 바뀌었음을 강조하기 위해 계수를 $A_{n}$ 에서 $C_{n}$ 으로 바꾸어 줬다. 식 자체는 동일하다.

마지막으로 삼각함수 형태와 복소지수 형태를 비교해보자.

1. 푸리에 급수 (삼각함수)

\begin{aligned} f (x) & = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \cos m ω x + b_{m} \sin m ω x) \\ where \\ a_{0} & = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) d x \\ a_{n} & = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) \cos n ω x d x \\ b_{n} & = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) \sin n ω x d x \end{aligned}

2. 푸리에 급수 (복소지수)

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{- \infty}^{\infty} C_{m} \cdot e^{i m ω x} \\ where \\ C_{n} & = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (x) e^{- i n ω x} d x \end{aligned}

푸리에 급수를 복소지수 형태로 표현하기 되면서, 푸리에 급수를 복소원(complex circle)의 모음으로 해석해볼 수도 있다!! 😲 ‘heejin_park’님의 포스트에서 이 부분을 잘 설명하고 있어 링크를 달아둔다.

👉 ‘heejin_park’님의 포스트: 푸리에 급수의 삼각함수 표현 vs. 복소지수 표현

<푸리에 변환>은 <푸리에 급수>에서 주기 $L$ 을 무한대로 극한을 취해 쉽게 얻을 수 있다. 자세한 내용은 아래의 포스트에서 확인해보자.

👉 Fourier Transform

referencePermalink

‘heejin_park’님의 포스트

Seokyun Ha (aka. bluehorn07)

Fourier Series (Complex Representation)

referencePermalink

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