Traveling Salesman Problem

2020-1학기, 대학에서 ‘알고리즘’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

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<외판원 순회문제; Traveling Salesman Problem>은 대표적인 non-polynomial problem이다. 문제는 아래와 같다.

“Find a tour that start and ends at $1$, visits all cities exactly once, and has minimum total length.”

사실 항상 시작점으로 돌아오기 때문에 $1$번 노드에서 시작하든 다른 노드에서 시작하든 상관은 없다.

이 문제는 <완전 탐색>으로 푸는 접근과 <DP>로 푸는 두 가지 방식이 존재한다. 당연히 <DP>로 푸는게 <완전 탐색>보다 더 빠르지만, 구현이 조금 더 tricky 하다.

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완전 탐색

『알고리즘 문제해결전략』의 1권에서는 이 문제에 대한 완전탐색 접근법을 제시한다. 앞에서부터 도시를 하나씩 추가해 경로(path)를 만들어, 가능한 모든 경로를 만들어 이 중에서 최소 비용을 출력한다.

종만북에서 제시된 알고리즘을 벡준 10971번: 외판원 순회 2 문제에 맞춰서 작성하면 아래와 같다.

// path: 지금까지 만든 경로
// visited: 도시의 방문 여부
// currentLength: path의 경로로 만든 길이
long long shortestPath(vector<int> &path, vector<bool> &visited, long long currentLength) {
  // base case: 모든 도시를 방문했다면, 시작 도시로 돌아가고 종료
  if (path.size() == N) {
    int lastEdge = W[path.back()][path[0]];
    return lastEdge ? currentLength + lastEdge : LLONG_MAX;
  }

  long long ret = LLONG_MAX;

  // 방문 가능한 모든 도시를 방문
  for (int next = 0; next < N; next++) {
    if (visited[next]) continue;

    int here = path.back();
    if (W[here][next] == 0) continue;

    path.push_back(next);
    visited[next] = true;
    long long cand = shortestPath(path, visited, currentLength + W[here][next]);
    ret = min(ret, cand);

    visited[next] = false;
    path.pop_back();
  }
  return ret;
}

전체탐색으로 가능한 모든 방문 조합을 모두 탐색한다! 코드를 구성하는 과정에서 “조합”의 테크닉을 사용했다. path, visited를 인자로 넘겨야 한다는 생각을 하는게 어려운 것 같다 😲 이 코드는 bottom-up 재귀 방식으로 TSP를 구현했다.

그러나 <완전 탐색>은 성능면에서 좋지 않다. 그래서 이 접근으로 백준 2098번: 외판원 순회를 풀게 되면 시간 초과를 받게 된다 😥

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Dynamic Programming + Bitmask

<TSP>를 <DP>로 풀기 위한 알고리즘의 뼈대는 아래와 같다.

Let $C(j, S)$ the length of shortest path when visit $j$ at last and visit each node in $S$ exactly once.

이때, $C(j, S)$는 아래의 식으로 구할 수 있다.

\[C(j, S) = \min_{i \in S, \; i \ne j} \left\{ C(i, S - \{j\}) + d_{ij}\right\}\]

그럼 우리의 목표는 $C(i, \{ 1, 2, \dots, n \}) + d_{i1}$ 중 가장 짧은 거리를 구하는 것이다! 이를 구하기 위한 알고리즘을 코드로 기술하면 아래와 같다. 코드는 ‘hsp1116’님의 포스트를 참조했다.

TSP의 DP 알고리즘을 구현하기 위해선 비트마스크(bitmask) 기법에 대해 알아야 한다. 해당 포스트를 먼저 살펴보고 오자.

// curr: 마지막으로 방문한 노드 (=here)
// visited: 방문한 노드를 기록한 비트마스크
long long shortestPath(int curr, int visited) {
  // 모두 방문
  if (visited == ((1 << N) - 1)) {
    int lastEdge = W[curr][0];
    return lastEdge ? lastEdge : LLONG_MAX;
  }

  long long ret = LLONG_MAX;

  for (int next = 1; next < N; next++) {
    if (visited & (1 << next)) continue;
    if (W[curr][next] == 0) continue;

    long long out = shortestPath(next, visited | (1 << next));
    if(out == LLONG_MAX) continue;

    ret = min(ret, out + W[curr][next]);
  }

  return ret;
}

사실 처음에 제시했던 완전탐색 코드와 크게 다르지는 않다. 그러나 함수의 인자로 visited를 비트마스크로 받는다는 점. 그리고 TSP의 결과를 얻기 위해서 구체적인 방문 순서가 담긴 경로 path가 필요없으니 마지막으로 방문한 노드인 curr만 받는다는 점이 주목할 만하다! 🤩

여기에 <DP>를 얹으면 아래와 같다.

long long dp[MAX][1 << MAX];

// curr: 마지막으로 방문한 노드 (=here)
// visited: 방문한 노드를 기록한 비트마스크
long long shortestPath(int curr, int visited) {
  // 모두 방문
  if (visited == ((1 << N) - 1)) {
    int lastEdge = W[curr][0];
    return lastEdge ? lastEdge : LLONG_MAX;
  }

  if (dp[curr][visited] != 0) return dp[curr][visited];

  long long ret = LLONG_MAX;

  for (int next = 1; next < N; next++) {
    if (visited & (1 << next)) continue;
    if (W[curr][next] == 0) continue;

    long long out = shortestPath(next, visited | (1 << next));
    if(out == LLONG_MAX) continue;

    ret = min(ret, out + W[curr][next]);
  }

  dp[curr][visited] = ret;
  return ret;
}

처음에는 비트마스크를 쓰기 위한 범위가 $2^{16}$이나 되어서 선언 가능한 배열의 범위를 훨씬 벗어난다고 생각했는데, 위의 코드에서는 dp[MAX][1 << MAX]와 같은 방식으로 해결했다. 처음에는 이것 때문에 배열이 아니라 map 형식으로 DP를 할까 고민도 많이 했다.

또, 아직 비트마스크의 기본이 되는 테크닉들이 익숙하지 않아서 먼저 비트마스크 문제를 좀더 풀고 오리지널 기술로 습득하는게 필요해보인다.

<TSP>는 워낙 유명하고 중요한 문제라서 풀어봤는데, 많은 영감을 얻은 것 같다 ㅎㅎ

시간 복잡도

DP 알고리즘은 $O(n^2 2^n)$의 효율을 보인다고 한다. 이건 Brute Force의 $O((n-1)!)$ 보다 약간 좋은 수준이며 DP를 썼음에도 여전히 exponential time algorithm인 상황이다.

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TSP (Search Problem)

TSP 문제에 budget $b$를 도입하여 Search Problem의 형태로 바꾸고자 한다.

“Find a tour that start and ends at $1$, visits all cities exactly once with total cost $b$ or less.
If there’s no such tour, then report ‘no tour’.”

우리가 맨 처음 살펴봤던 TSP 문제는 최적해를 찾는 optimization problem이었다. 그런데 이번에 정의한 TSP는 search problem이다. TSP(optimization)과 TSP(search)를 서로의 문제로 환원 될 수 있다.

• TSP(optimization) 알고리즘을 통해 TSP(search) 문제에 답할 수 있다.
• TSP(search) 알고리즘을 통해 tour가 존재하는 지점까지 budget $b$를 binary search 하면 TSP(optimization) 문제에 답할 수 있다.

그렇담 왜 굳이 TSP(search)를 정의한 걸까? 그것은 TSP 문제의 solution $T$을 correctness를 검증하기 위해서다. TSP 문제를 검증하기 위해선 (1) $T$가 tour인가? (2) $T$의 total length가 budget $b$ 이하인가?를 검증해야 하는데, TSP(optimization)은 solution $T$가 주어졌을 때 $T$의 total length가 정말 optimal인지 답하기 어렵기 때문에 budget $b$를 통한 (2)번 질문을 만든 것이다.

Problem Solving

• 벡준 10971번: 외판원 순회 2
• 백준 2098번: 외판원 순회

함께보기

• Bitmask Technique
• Hamilton Cycle Problem
• P and NP

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reference

• ‘hsp1116’님의 포스트