Techniques of Integrals: Problem Solving

복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. 공부하면서 재밌어 보였던 문제들과 풀이들을 모아서 정리한 포스트 입니다. 미적분학 포스트 전체 보기

Equivalence of the Washer and Shell methods

Wahser 방식과 Shell 방식이 동치임을 밝히는 문제다. Thomas Calculus 13th ed. 연습문제로 나왔는데, 요건 American Mathematical Monthly에서 문제를 발췌한 문제였다.

일단 Washer 방식으로 구한 부피는 아래와 같다.

\[W_v = \int_{f(a)}^{f(b)} \pi \left((f^{-1}(y))^2 - a^2\right) dy\]

그리고 Shell 방식으로 구한 부피는 아래와 같다.

\[S_v = \int_{a}^{b} 2 \pi x (f(b) - f(x)) dx\]

증명해보기 위해 Shell Method의 식에 치환적분을 할 것이다!

Let $f(x) = y$, then

\[\begin{aligned} f'(x) dx &= dy \\ \frac{1}{\left(f^{-1}(y)\right)'} dx &= dy \\ dx &= \left(f^{-1}(y)\right)' dy \end{aligned}\]

적분을 치환하면…

\[\begin{aligned} &\int_{a}^{b} 2 \pi x (f(b) - f(x)) dx \\ &= \int_{f(a)}^{f(b)} 2 \pi \cdot f^{-1}(y) \cdot (f(b) - y) \cdot \left(f^{-1}(y)\right)' dy \\ &= \int_{f(a)}^{f(b)} 2 \pi \cdot f^{-1}(y) \cdot \left(f^{-1}(y)\right)' \cdot (f(b) - y) ' dy \end{aligned}\]

이제 $f(b)$ 파트와 $y$가 있는 파트를 각각 계산해보자.

<$f(b) 파트$>

\[\begin{aligned} &\int_{f(a)}^{f(b)} 2 f^{-1}(y) \cdot \left(f^{-1}(y)\right) dy \\ &= \left[ \left(f^{-1} (y) \right)^2 \right]_{f(a)}^{f(b)} \\ &= b^2 - a^2 \end{aligned}\]

<$y$ 파트>

\[\begin{aligned} &\int_{f(a)}^{f(b)} 2 f^{-1}(y) \cdot \left(f^{-1}(y)\right) y \, dy \\ &= \left[ (f^{-1}(y))^2 y \right]_{f(a)}^{f(b)} - \int_{f(a)}^{f(b)} (f^{-1}(y))^2 \, dy \\ &= b^2 f(b) - a^2 f(a) - \int_{f(a)}^{f(b)} (f^{-1}(y))^2 \, dy \end{aligned}\]

이제 식을 합쳐서 정리해보자! (상수 $\pi$는 생략 했다..)

\[\begin{aligned} &\int_{f(a)}^{f(b)} 2 \pi \cdot f^{-1}(y) \cdot \left(f^{-1}(y)\right)' \cdot (f(b) - y) ' dy \\ &= \left(b^2 - a^2\right) f(b) - (b^2 f(b) - a^2 f(a)) + \int_{f(a)}^{f(b)} (f^{-1}(y))^2 \, dy \\ &= a^2 (f(a) - f(b)) + \int_{f(a)}^{f(b)} (f^{-1}(y))^2 \, dy \end{aligned}\]

요렇게 정리 된다! 이때, 왼쪽 부분을 적분 형태로 되돌린다면 최종적으로 이련 형태 된다. (상수 $\pi$를 다시 붙임..)

\[\begin{aligned} &\int_{a}^{b} 2 \pi x (f(b) - f(x)) dx \\ &= \pi a^2 (f(a) - f(b)) + \pi \int_{f(a)}^{f(b)} (f^{-1}(y))^2 \, dy \\ &= \pi \int_{f(a)}^{f(b)} (f^{-1}(y))^2 \, dy - \int_{f(a)}^{f(b)} \pi a^2 \\ &= \int_{f(a)}^{f(b)} \pi \left((f^{-1}(y))^2 - a^2\right) dy \end{aligned}\]

와우! 처음에 Washer 방법으로 유도한 부피 공식과 동일해졌다!! $\blacksquare$

Integration by Parts

부분 적분을 말한다.

Integral of $e^x \cos x$

\[\int e^x \cos x \, dx\]

를 구해보자.

부분적분을 활용한다.

\[\int e^x \cos x \, dx = e^x (- \sin x) + \int e^x \sin x \, dx\]

이때, $\int e^x \sin x dx$를 구하면 아래와 같다.

\[\int e^x \sin x \, dx = e^x \cos x - \int e^x \cos x \, dx\]

이제 요 식을 대입해보자!!

\[\begin{aligned} \int e^x \cos x \, dx &= e^x (- \sin x) + \int e^x \sin x \, dx \\ &= e^x (- \sin x) + (e^x \cos x - \int e^x \cos x \, dx) \end{aligned}\]

좌우의 식을 정리하면 아래와 같다.

\[\int e^x \cos x \, dx = \frac{e^x(\cos x - \sin x)}{2}\]

$e^x \cos x$의 적분을 하는데, $e^x \sin x$의 적분이 필요한 재밌는 적분이다. $\blacksquare$

Integral of $\cos^n x$

\[\int \cos^n x \, dx\]

를 구해보자.

일단 부분 적분을 적용한다. 이때, $\cos^n x$를 분해해야 하는데, 아래와 같이 분해한다!

\[\cos^n x = (\cos^{n-1} x) \cdot (\cos x)\]

이제 요걸 기준으로 부분적분을 하면 된다. 일단 $\cos^{n-1} x$를 적분하는 건 모르기 때문에 요 걸 미분하는 함수로 두고 적분을 하자.

\[\int \cos^n x \, dx = \cos^{n-1} x \cdot \sin x - \int (n-1) \cos^{n-2} x (- \sin x) \cdot \sin x\, dx\]

우변의 적분 파트를 자세히 보면, $\sin^2 x$가 보인다. 요걸 $1 - \cos^2 x$로 치환해주자.

\[\begin{aligned} &\int \cos^n x \, dx \\ &= \cos^{n-1} x \cdot \sin x + \int (n-1) \cos^{n-2} x \cdot \sin^2 x \, dx \\ &= \cos^{n-1} x \cdot \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \cdot (1 - \cos^2 x) \, dx \\ &= \cos^{n-1} x \cdot \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \, dx - (n-1) \int \cos^n x \, dx \end{aligned}\]

우변에 $\cos^{n-2} x$에 대한 적분도 있지만, 우리가 구하려는 $\cos^n x$의 적분이 그대로 있다! 식을 다시 정리해서 우변에 있는 $\cos^n x$의 적분을 정리하면 아래와 같다.

\[\int \cos^n x \, dx = \frac{1}{n} \left( \cos^{n-1} x \cdot \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \, dx \right)\]

뭔가 식이 덜 정리된 것 같지만 이제 최종적인 형태다…! 적분이 일종의 점화식(recurrence relation)으로 나오는데, 적분 함수는 $I(n)$으로 두고 정리하면 아래와 같다.

\[I(n) = \frac{1}{n} \left( \cos^{n-1} x \cdot \sin x + (n-1) \cdot I(n-2) \right)\]

적분 함수가 점화식으로 유도되는게 신기했던 적분이다. $\blacksquare$

Integral of $(1 - x^2)^n$

\[\int_{-1}^{1} (1 - x^2)^n \, dx\]

앞에서 봤던 $\cos^n x$의 적분처럼 어떤 함수를 $n$ 제곱한 꼴의 적분이다. 신기한 점은 $x = \sin t$라고 생각하면, 요건 $\cos^{2n+1} t$의 적분이 된다!! ($x = \cos t4$로 두고 풀어도 무방하다.)

\[\begin{aligned} &\int_{-1}^{1} (1 - x^2)^n \, dx \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)^n \cdot \cos t \, dt \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\cos^2 t)^n \cdot \cos t \, dt \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2n+1} t \, dt \\ \end{aligned}\]

요건 위에서 식을 구했으니 바로 풀어보자.

\[I(2n + 1) = \frac{1}{2n+1} \left(\cos^{2n} x \cdot \sin x + 2n \cdot I(2n-1)\right)\]

이때, 적분 범위가 $(-\pi/2, \pi/2)$로 지정 되었으므로 $\cos^{2n} x \cdot \sin x$ 파트를 계산할 수 있는데, 요 값은 $\cos^{2n} (\pi/2) = \cos^{2n} (- \pi/2) = 0$이므로 $0$이다. 따라서 점화식이 아래와 같이 간결해진다.

\[I(2n + 1) = \frac{2n}{2n+1} I(2n - 1)\]

점화식을 전개하면 아래와 같은데,

\[I(2n + 1) = \frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n - 2}{2n - 1} \cdots \frac{2}{3} \cdot I(0)\]

이때, $I(1) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx = 2$이므로 점화식은 아래와 같이 표현된다.

\[I(2n + 1) = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \cdot 2\]

$\cos^n x$에 대한 적분의 점화식을 한번더 만났던 재밌는 문제다 ㅎㅎ 풀이를 찾아보니 무슨 르장드르 다항식 얘기도 나오던데, 아직 해석학을 안 들어서 무슨 말인지 모르겠다…;;

Differential Equations

Solve $g’(x) = 1 + [g(x)]^2$

$g(0) = 0$이고, $g’(x) = 1 + [g(x)]^2$인 미분 방정식을 풀어보자.

$y = g(x)$로 두고, 식을 $dy/dx$ 꼴로 바꿔보자.

\[\frac{dy}{dx} = 1 + y^2\]

식을 $dy$, $dx$ 기준으로 다시 정리하면

\[\frac{dy}{1+y^2} = dx\]

이제 양변을 적분하면

\[\tan^{-1} (y) = \tan^{-1} g(x) = x + C\]

이때, $g(0) = 0$이므로 $\tan^{-1}g(0) = 0 + C$, 즉 적분상수 $C = 0$이다.

식을 매끄럽게 정리하면, $g(x) = \tan x$가 된다. $\blacksquare$

아직 미방 수업을 다시 안 봐서 그런지 저런 미분방정식 푸는게 익숙하지 않구먼…;;

Social Diffusion

사회학자들이 정보(rumor, cultural fad, news 등)가 퍼지는 속도는 그 정보를 알고 있는 사람의 수 $x$에 따라 결정된다고 말한다.

이런 상황을 상상해보자. $N$명의 사람들이 강당에 모두 모여있다. 어떤 정보를 알게 된 첫 사람은 본인을 제외한 $N-1$명의 사람에게 정보를 전달할 것이다. 만약, 그 정보를 2명의 사람이 알고 있다면, 정보를 아는 사람을 제외한 $N-2$명의 사람에게 각자 정보를 전파할 것이다: $2 \cdot (N-2)$. 만약 $i$명의 사람이 정보를 알고 있다면, $i \cdot (N-i)$ 만큼의 정보 전파가 이뤄질 것이다.

이런 양상은 정보를 아는 사람이 적을 때는 정보 전파 속도가 느리지만, 점점 많은 사람들이 정보를 알게 될수록, 정보를 전파하는 사람이 많아져 전파 속도가 빨라진다. 하지만 어느 시점을 넘으면, 이미 그룹 내의 많은 사람이 그 정보를 알고 있게 되므로 정보를 전파할 대상이 줄어든다. 즉, 너무 많은 사람들이 그 정보를 알게 된다면, 이미 그 정보를 아는 사람이 많아서 오히려 정보가 퍼지는 속도는 이전보다 줄어드는 것이다.

이것을 수학적으로 모델링한 방정식이 아래의 것이다.

\[\frac{dx}{dt} = kx(N-x)\]

정보가 전파되는 속도 $dx/dt$를 정보를 아는 사람 수 $x$로 모델링 한 것이다.

요 미분 방정식을 풀면 아래와 같다.

\[\frac{dx}{x(N-x)} = k \, dt\] \[\begin{aligned} \int \frac{dx}{x(N-x)} &= \int k \, dt \\ \int \frac{1}{N} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{N-x}\right) dx &= k t + C \\ \frac{1}{N} (\ln x + \ln (N-x)) &= kt + C \\ \frac{\ln \left(x \cdot (N-x)\right)}{N} &= kt + C \end{aligned}\]

Improper Integral and Limit of Integral may not equal

두 적분이 서로 같은지 판단하자.

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx \overset{?}{=} \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{-b}^{b} \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx\]

먼저 좌변의 적분을 먼저 계산해보자. 요건 적분을 $(0, \infty)$ 구간과 $(- \infty, 0)$ 구간으로 나누어 계산해보면 된다.

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{\infty} \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx \\ &= \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t} \, dt \\ &= \ln t ]_{1}^{\infty} = \infty - 0 \end{aligned}\]

즉, 적분이 발산한다! 반면에 우변은 수렴하는데,

\[\int_{-b}^{b} \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = 0\]

으로 odd function의 적분이기 때문에 적분값이 0으로 수렴한다.

즉, 얼핏 보면 같아 보이는 두 적분은 서로 다른 적분이다!!

그럼 주어진 함수 $f(x) = 2x/(x^2+1)$의 이상 적분은 발산한다고 말해야 할까, 아님 수렴한다고 말해야 맞는 걸까? 그런 상황 때문에 Improper Integral을 정의할 때 아래와 같이 정의를 한다.

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_c^{\infty} f(x) \, dx + \int_{-\infty}^{c} f(x) \, dx\]

이때, $c$는 임의의 실수이다.

위의 정의에 따르면, $f(x)$의 이상적분은 발산한다.

Infinite area and finite volume

What values of $p$ have the following property:

• The area of the region between the curve $y = x^{-p}$, $1 \le x < \infty$, and
• the $x$-axis is finite but the volume of the solid generate by revolving the region about the $x$-axis is finite.

우선 $x^{-p}$의 적분이 발산하라면, 그 조건은 $p=1$이거나 $-p+1 > 0$이면 된다. 즉, $p \le 1$이면 면적에 대한 적분값이 발산한다. 부피에 대한 적분이 수렴하려면, $-2p + 1 < 0$라는 조건이 필요하다. 즉, $p > 1/2$다.

두 구간을 종합하면 면적이 무한대로 발산하고, 부피가 수렴하려면 $p$ 값은 $p \in (1/2, 1]$ 범위 내에 있어야 한다.

Torricelli’s trumpet

요런 신기한 현상을 이름 붙인 것이 바로 토리첼리의 트럼펫(Torricelli’s trumpet)이다.