Techniques of Integrals: Problem Solving
볡μμ 곡νκ³ μλ μνκ³Όμ μ‘Έμ μνμ μν΄ νλΆ μν κ³Όλͺ©λ€μ λ€μ 곡λΆνκ³ μμ΅λλ€. 곡λΆνλ©΄μ μ¬λ°μ΄ 보μλ λ¬Έμ λ€κ³Ό νμ΄λ€μ λͺ¨μμ μ 리ν ν¬μ€νΈ μ λλ€. λ―Έμ λΆν ν¬μ€νΈ μ 체 보기
Equivalence of the Washer and Shell methodsPermalink
Wahser λ°©μκ³Ό Shell λ°©μμ΄ λμΉμμ λ°νλ λ¬Έμ λ€. Thomas Calculus 13th ed. μ°μ΅λ¬Έμ λ‘ λμλλ°, μ건 American Mathematical Monthlyμμ λ¬Έμ λ₯Ό λ°μ·ν λ¬Έμ μλ€.
μΌλ¨ Washer λ°©μμΌλ‘ ꡬν λΆνΌλ μλμ κ°λ€.
κ·Έλ¦¬κ³ Shell λ°©μμΌλ‘ ꡬν λΆνΌλ μλμ κ°λ€.
μ¦λͺ ν΄λ³΄κΈ° μν΄ Shell Methodμ μμ μΉνμ λΆμ ν κ²μ΄λ€!
Let
μ λΆμ μΉννλ©΄β¦
μ΄μ
<
<
μ΄μ μμ ν©μ³μ μ 리ν΄λ³΄μ! (μμ
μλ κ² μ 리 λλ€! μ΄λ, μΌμͺ½ λΆλΆμ μ λΆ ννλ‘ λλλ¦°λ€λ©΄ μ΅μ’
μ μΌλ‘ μ΄λ ¨ νν λλ€. (μμ
μμ°! μ²μμ Washer λ°©λ²μΌλ‘ μ λν λΆνΌ 곡μκ³Ό λμΌν΄μ‘λ€!!
Integration by PartsPermalink
λΆλΆ μ λΆμ λ§νλ€.
Integral of Permalink
λ₯Ό ꡬν΄λ³΄μ.
λΆλΆμ λΆμ νμ©νλ€.
μ΄λ,
μ΄μ μ μμ λμ ν΄λ³΄μ!!
μ’μ°μ μμ μ 리νλ©΄ μλμ κ°λ€.
Integral of Permalink
λ₯Ό ꡬν΄λ³΄μ.
μΌλ¨ λΆλΆ μ λΆμ μ μ©νλ€. μ΄λ,
μ΄μ μκ±Έ κΈ°μ€μΌλ‘ λΆλΆμ λΆμ νλ©΄ λλ€. μΌλ¨
μ°λ³μ μ λΆ ννΈλ₯Ό μμΈν 보면,
μ°λ³μ
λκ° μμ΄ λ μ 리λ κ² κ°μ§λ§ μ΄μ μ΅μ’
μ μΈ ννλ€β¦! μ λΆμ΄ μΌμ’
μ μ νμ(recurrence relation)μΌλ‘ λμ€λλ°, μ λΆ ν¨μλ
μ λΆ ν¨μκ° μ νμμΌλ‘ μ λλλκ² μ κΈ°νλ μ λΆμ΄λ€.
Integral of Permalink
μμμ λ΄€λ
μ건 μμμ μμ ꡬνμΌλ λ°λ‘ νμ΄λ³΄μ.
μ΄λ, μ λΆ λ²μκ°
μ νμμ μ κ°νλ©΄ μλμ κ°μλ°,
μ΄λ,
Differential EquationsPermalink
Solve Permalink
μμ
μ΄μ μλ³μ μ λΆνλ©΄
μ΄λ,
μμ 맀λλ½κ² μ 리νλ©΄,
μμ§ λ―Έλ°© μμ μ λ€μ μ λ΄μ κ·Έλ°μ§ μ λ° λ―ΈλΆλ°©μ μ νΈλκ² μ΅μνμ§ μꡬ먼β¦;;
Social DiffusionPermalink
μ¬ννμλ€μ΄ μ 보(rumor, cultural fad, news λ±)κ° νΌμ§λ μλλ κ·Έ μ 보λ₯Ό μκ³ μλ μ¬λμ μ
μ΄λ° μν©μ μμν΄λ³΄μ.
μ΄λ° μμμ μ 보λ₯Ό μλ μ¬λμ΄ μ μ λλ μ 보 μ ν μλκ° λ리μ§λ§, μ μ λ§μ μ¬λλ€μ΄ μ 보λ₯Ό μκ² λ μλ‘, μ 보λ₯Ό μ ννλ μ¬λμ΄ λ§μμ Έ μ ν μλκ° λΉ¨λΌμ§λ€. νμ§λ§ μ΄λ μμ μ λμΌλ©΄, μ΄λ―Έ κ·Έλ£Ή λ΄μ λ§μ μ¬λμ΄ κ·Έ μ 보λ₯Ό μκ³ μκ² λλ―λ‘ μ 보λ₯Ό μ νν λμμ΄ μ€μ΄λ λ€. μ¦, λ무 λ§μ μ¬λλ€μ΄ κ·Έ μ 보λ₯Ό μκ² λλ€λ©΄, μ΄λ―Έ κ·Έ μ 보λ₯Ό μλ μ¬λμ΄ λ§μμ μ€νλ € μ λ³΄κ° νΌμ§λ μλλ μ΄μ λ³΄λ€ μ€μ΄λλ κ²μ΄λ€.
μ΄κ²μ μνμ μΌλ‘ λͺ¨λΈλ§ν λ°©μ μμ΄ μλμ κ²μ΄λ€.
μ λ³΄κ° μ νλλ μλ
μ λ―ΈλΆ λ°©μ μμ νλ©΄ μλμ κ°λ€.
Improper Integral and Limit of Integral may not equalPermalink
λ μ λΆμ΄ μλ‘ κ°μμ§ νλ¨νμ.
λ¨Όμ μ’λ³μ μ λΆμ λ¨Όμ κ³μ°ν΄λ³΄μ. μ건 μ λΆμ
μ¦, μ λΆμ΄ λ°μ°νλ€! λ°λ©΄μ μ°λ³μ μλ ΄νλλ°,
μΌλ‘ odd functionμ μ λΆμ΄κΈ° λλ¬Έμ μ λΆκ°μ΄ 0μΌλ‘ μλ ΄νλ€.
μ¦, μΌν 보면 κ°μ 보μ΄λ λ μ λΆμ μλ‘ λ€λ₯Έ μ λΆμ΄λ€!!
κ·ΈλΌ μ£Όμ΄μ§ ν¨μ
μ΄λ,
μμ μ μμ λ°λ₯΄λ©΄,
Infinite area and finite volumePermalink
What values of
- The area of the region between the curve
, , and - the
-axis is finite but the volume of the solid generate by revolving the region about the -axis is finite.
μ°μ
λ ꡬκ°μ μ’
ν©νλ©΄ λ©΄μ μ΄ λ¬΄νλλ‘ λ°μ°νκ³ , λΆνΌκ° μλ ΄νλ €λ©΄
Torricelliβs trumpetPermalink
μλ° μ κΈ°ν νμμ μ΄λ¦ λΆμΈ κ²μ΄ λ°λ‘ ν 리첼리μ νΈλΌν«(Torricelliβs trumpet)μ΄λ€.