Washer method와 Shell methodλŠ” λ™μΉ˜λ‹€. μ ν™”μ‹μœΌλ‘œ μœ λ„λ˜λŠ” 적뢄. 이상 적뢄에 λŒ€ν•œ μ •μ˜. 면적은 λ¬΄ν•œν•œλ°, λΆ€ν”ΌλŠ” μœ ν•œν•œ ν•¨μˆ˜.

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λ³΅μˆ˜μ „κ³΅ν•˜κ³  μžˆλŠ” μˆ˜ν•™κ³Όμ˜ μ‘Έμ—…μ‹œν—˜μ„ μœ„ν•΄ ν•™λΆ€ μˆ˜ν•™ κ³Όλͺ©λ“€μ„ λ‹€μ‹œ κ³΅λΆ€ν•˜κ³  μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€. κ³΅λΆ€ν•˜λ©΄μ„œ μž¬λ°Œμ–΄ λ³΄μ˜€λ˜ λ¬Έμ œλ“€κ³Ό 풀이듀을 λͺ¨μ•„μ„œ μ •λ¦¬ν•œ 포슀트 μž…λ‹ˆλ‹€. 미적뢄학 포슀트 전체 보기

Equivalence of the Washer and Shell methodsPermalink

Wahser 방식과 Shell 방식이 λ™μΉ˜μž„μ„ λ°νžˆλŠ” λ¬Έμ œλ‹€. Thomas Calculus 13th ed. μ—°μŠ΅λ¬Έμ œλ‘œ λ‚˜μ™”λŠ”λ°, μš”κ±΄ American Mathematical Monthlyμ—μ„œ 문제λ₯Ό λ°œμ·Œν•œ λ¬Έμ œμ˜€λ‹€.

일단 Washer λ°©μ‹μœΌλ‘œ κ΅¬ν•œ λΆ€ν”ΌλŠ” μ•„λž˜μ™€ κ°™λ‹€.

Wv=∫f(a)f(b)Ο€((fβˆ’1(y))2βˆ’a2)dy

그리고 Shell λ°©μ‹μœΌλ‘œ κ΅¬ν•œ λΆ€ν”ΌλŠ” μ•„λž˜μ™€ κ°™λ‹€.

Sv=∫ab2Ο€x(f(b)βˆ’f(x))dx

증λͺ…해보기 μœ„ν•΄ Shell Method의 식에 μΉ˜ν™˜μ λΆ„μ„ ν•  것이닀!

Let f(x)=y, then

fβ€²(x)dx=dy1(fβˆ’1(y))β€²dx=dydx=(fβˆ’1(y))β€²dy

적뢄을 μΉ˜ν™˜ν•˜λ©΄β€¦

∫ab2Ο€x(f(b)βˆ’f(x))dx=∫f(a)f(b)2Ο€β‹…fβˆ’1(y)β‹…(f(b)βˆ’y)β‹…(fβˆ’1(y))β€²dy=∫f(a)f(b)2Ο€β‹…fβˆ’1(y)β‹…(fβˆ’1(y))β€²β‹…(f(b)βˆ’y)β€²dy

이제 f(b) νŒŒνŠΈμ™€ yκ°€ μžˆλŠ” 파트λ₯Ό 각각 κ³„μ‚°ν•΄λ³΄μž.

<f(b)파트>

∫f(a)f(b)2fβˆ’1(y)β‹…(fβˆ’1(y))dy=[(fβˆ’1(y))2]f(a)f(b)=b2βˆ’a2

<y 파트>

∫f(a)f(b)2fβˆ’1(y)β‹…(fβˆ’1(y))ydy=[(fβˆ’1(y))2y]f(a)f(b)βˆ’βˆ«f(a)f(b)(fβˆ’1(y))2dy=b2f(b)βˆ’a2f(a)βˆ’βˆ«f(a)f(b)(fβˆ’1(y))2dy

이제 식을 ν•©μ³μ„œ μ •λ¦¬ν•΄λ³΄μž! (μƒμˆ˜ Ο€λŠ” μƒλž΅ ν–ˆλ‹€..)

∫f(a)f(b)2Ο€β‹…fβˆ’1(y)β‹…(fβˆ’1(y))β€²β‹…(f(b)βˆ’y)β€²dy=(b2βˆ’a2)f(b)βˆ’(b2f(b)βˆ’a2f(a))+∫f(a)f(b)(fβˆ’1(y))2dy=a2(f(a)βˆ’f(b))+∫f(a)f(b)(fβˆ’1(y))2dy

μš”λ ‡κ²Œ 정리 λœλ‹€! μ΄λ•Œ, μ™Όμͺ½ 뢀뢄을 적뢄 ν˜•νƒœλ‘œ λ˜λŒλ¦°λ‹€λ©΄ μ΅œμ’…μ μœΌλ‘œ 이련 ν˜•νƒœ λœλ‹€. (μƒμˆ˜ Ο€λ₯Ό λ‹€μ‹œ λΆ™μž„..)

∫ab2Ο€x(f(b)βˆ’f(x))dx=Ο€a2(f(a)βˆ’f(b))+Ο€βˆ«f(a)f(b)(fβˆ’1(y))2dy=Ο€βˆ«f(a)f(b)(fβˆ’1(y))2dyβˆ’βˆ«f(a)f(b)Ο€a2=∫f(a)f(b)Ο€((fβˆ’1(y))2βˆ’a2)dy

μ™€μš°! μ²˜μŒμ— Washer λ°©λ²•μœΌλ‘œ μœ λ„ν•œ λΆ€ν”Ό 곡식과 λ™μΌν•΄μ‘Œλ‹€!! β—Ό

Integration by PartsPermalink

λΆ€λΆ„ 적뢄을 λ§ν•œλ‹€.

Integral of excos⁑xPermalink

∫excos⁑xdx

λ₯Ό κ΅¬ν•΄λ³΄μž.

뢀뢄적뢄을 ν™œμš©ν•œλ‹€.

∫excos⁑xdx=ex(βˆ’sin⁑x)+∫exsin⁑xdx

μ΄λ•Œ, ∫exsin⁑xdxλ₯Ό κ΅¬ν•˜λ©΄ μ•„λž˜μ™€ κ°™λ‹€.

∫exsin⁑xdx=excos⁑xβˆ’βˆ«excos⁑xdx

이제 μš” 식을 λŒ€μž…ν•΄λ³΄μž!!

∫excos⁑xdx=ex(βˆ’sin⁑x)+∫exsin⁑xdx=ex(βˆ’sin⁑x)+(excos⁑xβˆ’βˆ«excos⁑xdx)

쒌우의 식을 μ •λ¦¬ν•˜λ©΄ μ•„λž˜μ™€ κ°™λ‹€.

∫excos⁑xdx=ex(cos⁑xβˆ’sin⁑x)2

excos⁑x의 적뢄을 ν•˜λŠ”λ°, exsin⁑x의 적뢄이 ν•„μš”ν•œ μž¬λ°ŒλŠ” 적뢄이닀. β—Ό

Integral of cosn⁑xPermalink

∫cosn⁑xdx

λ₯Ό κ΅¬ν•΄λ³΄μž.

일단 λΆ€λΆ„ 적뢄을 μ μš©ν•œλ‹€. μ΄λ•Œ, cosn⁑xλ₯Ό λΆ„ν•΄ν•΄μ•Ό ν•˜λŠ”λ°, μ•„λž˜μ™€ 같이 λΆ„ν•΄ν•œλ‹€!

cosn⁑x=(cosnβˆ’1⁑x)β‹…(cos⁑x)

이제 μš”κ±Έ κΈ°μ€€μœΌλ‘œ 뢀뢄적뢄을 ν•˜λ©΄ λœλ‹€. 일단 cosnβˆ’1⁑xλ₯Ό μ λΆ„ν•˜λŠ” 건 λͺ¨λ₯΄κΈ° λ•Œλ¬Έμ— μš” κ±Έ λ―ΈλΆ„ν•˜λŠ” ν•¨μˆ˜λ‘œ 두고 적뢄을 ν•˜μž.

∫cosn⁑xdx=cosnβˆ’1⁑xβ‹…sin⁑xβˆ’βˆ«(nβˆ’1)cosnβˆ’2⁑x(βˆ’sin⁑x)β‹…sin⁑xdx

μš°λ³€μ˜ 적뢄 파트λ₯Ό μžμ„Ένžˆ 보면, sin2⁑xκ°€ 보인닀. μš”κ±Έ 1βˆ’cos2⁑x둜 μΉ˜ν™˜ν•΄μ£Όμž.

∫cosn⁑xdx=cosnβˆ’1⁑xβ‹…sin⁑x+∫(nβˆ’1)cosnβˆ’2⁑xβ‹…sin2⁑xdx=cosnβˆ’1⁑xβ‹…sin⁑x+(nβˆ’1)∫cosnβˆ’2⁑xβ‹…(1βˆ’cos2⁑x)dx=cosnβˆ’1⁑xβ‹…sin⁑x+(nβˆ’1)∫cosnβˆ’2⁑xdxβˆ’(nβˆ’1)∫cosn⁑xdx

μš°λ³€μ— cosnβˆ’2⁑x에 λŒ€ν•œ 적뢄도 μžˆμ§€λ§Œ, μš°λ¦¬κ°€ κ΅¬ν•˜λ €λŠ” cosn⁑x의 적뢄이 κ·ΈλŒ€λ‘œ μžˆλ‹€! 식을 λ‹€μ‹œ μ •λ¦¬ν•΄μ„œ μš°λ³€μ— μžˆλŠ” cosn⁑x의 적뢄을 μ •λ¦¬ν•˜λ©΄ μ•„λž˜μ™€ κ°™λ‹€.

∫cosn⁑xdx=1n(cosnβˆ’1⁑xβ‹…sin⁑x+(nβˆ’1)∫cosnβˆ’2⁑xdx)

λ­”κ°€ 식이 덜 μ •λ¦¬λœ 것 κ°™μ§€λ§Œ 이제 μ΅œμ’…μ μΈ ν˜•νƒœλ‹€β€¦! 적뢄이 μΌμ’…μ˜ 점화식(recurrence relation)으둜 λ‚˜μ˜€λŠ”λ°, 적뢄 ν•¨μˆ˜λŠ” I(n)으둜 두고 μ •λ¦¬ν•˜λ©΄ μ•„λž˜μ™€ κ°™λ‹€.

I(n)=1n(cosnβˆ’1⁑xβ‹…sin⁑x+(nβˆ’1)β‹…I(nβˆ’2))

적뢄 ν•¨μˆ˜κ°€ μ ν™”μ‹μœΌλ‘œ μœ λ„λ˜λŠ”κ²Œ μ‹ κΈ°ν–ˆλ˜ 적뢄이닀. β—Ό

Integral of (1βˆ’x2)nPermalink

βˆ«βˆ’11(1βˆ’x2)ndx

μ•žμ—μ„œ 봀던 cosn⁑x의 μ λΆ„μ²˜λŸΌ μ–΄λ–€ ν•¨μˆ˜λ₯Ό n μ œκ³±ν•œ 꼴의 적뢄이닀. μ‹ κΈ°ν•œ 점은 x=sin⁑t라고 μƒκ°ν•˜λ©΄, μš”κ±΄ cos2n+1⁑t의 적뢄이 λœλ‹€!! (x=cos⁑t4둜 두고 풀어도 λ¬΄λ°©ν•˜λ‹€.)

βˆ«βˆ’11(1βˆ’x2)ndx=βˆ«βˆ’Ο€/2Ο€/2(1βˆ’sin2⁑t)nβ‹…cos⁑tdt=βˆ«βˆ’Ο€/2Ο€/2(cos2⁑t)nβ‹…cos⁑tdt=βˆ«βˆ’Ο€/2Ο€/2cos2n+1⁑tdt

μš”κ±΄ μœ„μ—μ„œ 식을 κ΅¬ν–ˆμœΌλ‹ˆ λ°”λ‘œ ν’€μ–΄λ³΄μž.

I(2n+1)=12n+1(cos2n⁑xβ‹…sin⁑x+2nβ‹…I(2nβˆ’1))

μ΄λ•Œ, 적뢄 λ²”μœ„κ°€ (βˆ’Ο€/2,Ο€/2)둜 지정 λ˜μ—ˆμœΌλ―€λ‘œ cos2n⁑xβ‹…sin⁑x 파트λ₯Ό 계산할 수 μžˆλŠ”λ°, μš” 값은 cos2n⁑(Ο€/2)=cos2n⁑(βˆ’Ο€/2)=0μ΄λ―€λ‘œ 0이닀. λ”°λΌμ„œ 점화식이 μ•„λž˜μ™€ 같이 간결해진닀.

I(2n+1)=2n2n+1I(2nβˆ’1)

점화식을 μ „κ°œν•˜λ©΄ μ•„λž˜μ™€ 같은데,

I(2n+1)=2n2n+1β‹…2nβˆ’22nβˆ’1β‹―23β‹…I(0)

μ΄λ•Œ, I(1)=βˆ«βˆ’Ο€/2Ο€/2cos⁑xdx=2μ΄λ―€λ‘œ 점화식은 μ•„λž˜μ™€ 같이 ν‘œν˜„λœλ‹€.

I(2n+1)=(2n)!!(2n+1)!!β‹…2

cosn⁑x에 λŒ€ν•œ μ λΆ„μ˜ 점화식을 ν•œλ²ˆλ” λ§Œλ‚¬λ˜ μž¬λ°ŒλŠ” λ¬Έμ œλ‹€ γ…Žγ…Ž 풀이λ₯Ό μ°Ύμ•„λ³΄λ‹ˆ 무슨 λ₯΄μž₯λ“œλ₯΄ 닀항식 μ–˜κΈ°λ„ λ‚˜μ˜€λ˜λ°, 아직 해석학을 μ•ˆ λ“€μ–΄μ„œ 무슨 말인지 λͺ¨λ₯΄κ² λ‹€β€¦;;

Differential EquationsPermalink

Solve gβ€²(x)=1+[g(x)]2Permalink

g(0)=0이고, gβ€²(x)=1+[g(x)]2인 λ―ΈλΆ„ 방정식을 ν’€μ–΄λ³΄μž.

y=g(x)둜 두고, 식을 dy/dx 꼴둜 λ°”κΏ”λ³΄μž.

dydx=1+y2

식을 dy, dx κΈ°μ€€μœΌλ‘œ λ‹€μ‹œ μ •λ¦¬ν•˜λ©΄

dy1+y2=dx

이제 양변을 μ λΆ„ν•˜λ©΄

tanβˆ’1⁑(y)=tanβˆ’1⁑g(x)=x+C

μ΄λ•Œ, g(0)=0μ΄λ―€λ‘œ tanβˆ’1⁑g(0)=0+C, 즉 μ λΆ„μƒμˆ˜ C=0이닀.

식을 λ§€λ„λŸ½κ²Œ μ •λ¦¬ν•˜λ©΄, g(x)=tan⁑xκ°€ λœλ‹€. β—Ό

아직 λ―Έλ°© μˆ˜μ—…μ„ λ‹€μ‹œ μ•ˆ λ΄μ„œ κ·ΈλŸ°μ§€ μ €λŸ° 미뢄방정식 ν‘ΈλŠ”κ²Œ μ΅μˆ™ν•˜μ§€ μ•Šκ΅¬λ¨Όβ€¦;;

Social DiffusionPermalink

μ‚¬νšŒν•™μžλ“€μ΄ 정보(rumor, cultural fad, news λ“±)κ°€ νΌμ§€λŠ” μ†λ„λŠ” κ·Έ 정보λ₯Ό μ•Œκ³  μžˆλŠ” μ‚¬λžŒμ˜ 수 x에 따라 κ²°μ •λœλ‹€κ³  λ§ν•œλ‹€.

이런 상황을 μƒμƒν•΄λ³΄μž. Nλͺ…μ˜ μ‚¬λžŒλ“€μ΄ 강당에 λͺ¨λ‘ λͺ¨μ—¬μžˆλ‹€. μ–΄λ–€ 정보λ₯Ό μ•Œκ²Œ 된 첫 μ‚¬λžŒμ€ 본인을 μ œμ™Έν•œ Nβˆ’1λͺ…μ˜ μ‚¬λžŒμ—κ²Œ 정보λ₯Ό 전달할 것이닀. λ§Œμ•½, κ·Έ 정보λ₯Ό 2λͺ…μ˜ μ‚¬λžŒμ΄ μ•Œκ³  μžˆλ‹€λ©΄, 정보λ₯Ό μ•„λŠ” μ‚¬λžŒμ„ μ œμ™Έν•œ Nβˆ’2λͺ…μ˜ μ‚¬λžŒμ—κ²Œ 각자 정보λ₯Ό μ „νŒŒν•  것이닀: 2β‹…(Nβˆ’2). λ§Œμ•½ iλͺ…μ˜ μ‚¬λžŒμ΄ 정보λ₯Ό μ•Œκ³  μžˆλ‹€λ©΄, iβ‹…(Nβˆ’i) 만큼의 정보 μ „νŒŒκ°€ μ΄λ€„μ§ˆ 것이닀.

이런 양상은 정보λ₯Ό μ•„λŠ” μ‚¬λžŒμ΄ 적을 λ•ŒλŠ” 정보 μ „νŒŒ 속도가 λŠλ¦¬μ§€λ§Œ, 점점 λ§Žμ€ μ‚¬λžŒλ“€μ΄ 정보λ₯Ό μ•Œκ²Œ 될수둝, 정보λ₯Ό μ „νŒŒν•˜λŠ” μ‚¬λžŒμ΄ λ§Žμ•„μ Έ μ „νŒŒ 속도가 빨라진닀. ν•˜μ§€λ§Œ μ–΄λŠ μ‹œμ μ„ λ„˜μœΌλ©΄, 이미 κ·Έλ£Ή λ‚΄μ˜ λ§Žμ€ μ‚¬λžŒμ΄ κ·Έ 정보λ₯Ό μ•Œκ³  있게 λ˜λ―€λ‘œ 정보λ₯Ό μ „νŒŒν•  λŒ€μƒμ΄ 쀄어든닀. 즉, λ„ˆλ¬΄ λ§Žμ€ μ‚¬λžŒλ“€μ΄ κ·Έ 정보λ₯Ό μ•Œκ²Œ λœλ‹€λ©΄, 이미 κ·Έ 정보λ₯Ό μ•„λŠ” μ‚¬λžŒμ΄ λ§Žμ•„μ„œ 였히렀 정보가 νΌμ§€λŠ” μ†λ„λŠ” 이전보닀 μ€„μ–΄λ“œλŠ” 것이닀.

이것을 μˆ˜ν•™μ μœΌλ‘œ λͺ¨λΈλ§ν•œ 방정식이 μ•„λž˜μ˜ 것이닀.

dxdt=kx(Nβˆ’x)

정보가 μ „νŒŒλ˜λŠ” 속도 dx/dtλ₯Ό 정보λ₯Ό μ•„λŠ” μ‚¬λžŒ 수 x둜 λͺ¨λΈλ§ ν•œ 것이닀.

μš” λ―ΈλΆ„ 방정식을 ν’€λ©΄ μ•„λž˜μ™€ κ°™λ‹€.

dxx(Nβˆ’x)=kdt ∫dxx(Nβˆ’x)=∫kdt∫1N(1x+1Nβˆ’x)dx=kt+C1N(ln⁑x+ln⁑(Nβˆ’x))=kt+Cln⁑(xβ‹…(Nβˆ’x))N=kt+C

Improper Integral and Limit of Integral may not equalPermalink

두 적뢄이 μ„œλ‘œ 같은지 νŒλ‹¨ν•˜μž.

βˆ«βˆ’βˆžβˆž2xx2+1dx=?limbβ†’βˆžβˆ«βˆ’bb2xx2+1dx

λ¨Όμ € μ’Œλ³€μ˜ 적뢄을 λ¨Όμ € κ³„μ‚°ν•΄λ³΄μž. μš”κ±΄ 적뢄을 (0,∞) ꡬ간과 (βˆ’βˆž,0) κ΅¬κ°„μœΌλ‘œ λ‚˜λˆ„μ–΄ 계산해보면 λœλ‹€.

∫0∞2xx2+1dx=∫1∞1tdt=ln⁑t]1∞=βˆžβˆ’0

즉, 적뢄이 λ°œμ‚°ν•œλ‹€! λ°˜λ©΄μ— μš°λ³€μ€ μˆ˜λ ΄ν•˜λŠ”λ°,

βˆ«βˆ’bb2xx2+1dx=0

으둜 odd function의 적뢄이기 λ•Œλ¬Έμ— 적뢄값이 0으둜 μˆ˜λ ΄ν•œλ‹€.

즉, 얼핏 보면 κ°™μ•„ λ³΄μ΄λŠ” 두 적뢄은 μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ 적뢄이닀!!

그럼 주어진 ν•¨μˆ˜ f(x)=2x/(x2+1)의 이상 적뢄은 λ°œμ‚°ν•œλ‹€κ³  말해야 ν• κΉŒ, μ•„λ‹˜ μˆ˜λ ΄ν•œλ‹€κ³  말해야 λ§žλŠ” 걸까? 그런 상황 λ•Œλ¬Έμ— Improper Integral을 μ •μ˜ν•  λ•Œ μ•„λž˜μ™€ 같이 μ •μ˜λ₯Ό ν•œλ‹€.

βˆ«βˆ’βˆžβˆžf(x)dx=∫c∞f(x)dx+βˆ«βˆ’βˆžcf(x)dx

μ΄λ•Œ, cλŠ” μž„μ˜μ˜ μ‹€μˆ˜μ΄λ‹€.

μœ„μ˜ μ •μ˜μ— λ”°λ₯΄λ©΄, f(x)의 이상적뢄은 λ°œμ‚°ν•œλ‹€.

Infinite area and finite volumePermalink

What values of p have the following property:

  • The area of the region between the curve y=xβˆ’p, 1≀x<∞, and
  • the x-axis is finite but the volume of the solid generate by revolving the region about the x-axis is finite.

μš°μ„  xβˆ’p의 적뢄이 λ°œμ‚°ν•˜λΌλ©΄, κ·Έ 쑰건은 p=1μ΄κ±°λ‚˜ βˆ’p+1>0이면 λœλ‹€. 즉, p≀1이면 면적에 λŒ€ν•œ 적뢄값이 λ°œμ‚°ν•œλ‹€. 뢀피에 λŒ€ν•œ 적뢄이 μˆ˜λ ΄ν•˜λ €λ©΄, βˆ’2p+1<0λΌλŠ” 쑰건이 ν•„μš”ν•˜λ‹€. 즉, p>1/2λ‹€.

두 ꡬ간을 μ’…ν•©ν•˜λ©΄ 면적이 λ¬΄ν•œλŒ€λ‘œ λ°œμ‚°ν•˜κ³ , λΆ€ν”Όκ°€ μˆ˜λ ΄ν•˜λ €λ©΄ p 값은 p∈(1/2,1] λ²”μœ„ 내에 μžˆμ–΄μ•Ό ν•œλ‹€.


Torricelli’s trumpetPermalink

μš”λŸ° μ‹ κΈ°ν•œ ν˜„μƒμ„ 이름 뢙인 것이 λ°”λ‘œ ν† λ¦¬μ²Όλ¦¬μ˜ 트럼펫(Torricelli’s trumpet)이닀.

GabrielHorn

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