Non-elementary Integrals

복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. 공부하면서 재밌어 보였던 문제들과 풀이들을 모아서 정리한 포스트 입니다. 미적분학 포스트 전체 보기

Elementary Function이란?

Elementary Functions, 초등 함수란 “다항함수, 지수함수와 그 역함수인 로그함수, 그리고 이를 함수의 합성과 사칙연산을 통해 얻는 모든 함수”를 초등함수라고 한다.

여기에 삼각함수(Trionometric Functions)도 초등 함수에 포함되는데, $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$, $\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}$로 표현되기 때문이다. 즉, 초등 함수를 분류할 때, 함수가 복소함수인지 여부는 중요하지 않은 것.

만약 ElementaryFunction을 미분한다면, 그 도함수는 여전히 ElementaryFunction이다. 그러나, ElementaryFunction을 적분한 적분 함수는 ElementaryFunction이 안 될 수도 있다! (즉, 적분 연산은 ElementaryFunction에 대해서 닫힌 연산이 아닌 것.)

Non-elementaryIntegrals

Non-elementaryIntegrals의 정의는 아래와 같다.

주어진 ElementaryFunction의 적분이 ElementaryFunction이 되지 않는 경우를 말한다. 즉, 적분 함수가 무한 급수 꼴로 표현되거나, 어떤 초등함수의 조합으로도 표현할 수 없다.

생각보다 이런 경우는 많다!! 이번 포스트에선 요런 non-elementaryintegral의 몇몇 사례를 살펴본다. 구체적인 내용은 별도의 포스트에서 다루겠다.

List of non-elementaryIntegrals

Error Function

\[\textbf{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt\]

요 함수의 improper integral(이상 적분)의 값은 몇가지 테크닉을 사용해 쉽게(?) 계산할 수 있다.

\[\int_0^{\infty} e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi} / 2\]

Gaussian Distribution

Error Function $\textbf{erf}(x)$는 Gaussian Distribution의 특수한 형태다.

\[f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]

자세한 내용은 “확률과 통계(MATH230)” 수업 들을 때 정리했던 블로그 포스틀 참고하자. 링크

Sine-Integral Function

\[\textbf{Si}(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt\]

평범한 $\sin x$ 함수는 쉽게 적분할 수 있지만, $x$로 나눈 $\textbf{Si}(x)$ 함수는 쉽게 적분되지 않는다고 한다. 읽을 때는 싱크(sinc) 함수라고 읽는다.

푸리에 변환을 할 때 정말 많이 보게 될 함수라고 한다.

Elliptical Integrals

\[\int \sqrt{1 - k^2 \sin^2 x} \, dx \;\; (0 \le k^2 \le 1)\]

본인은 처음에 요 적분을 $\sin x$ 함수의 arc length를 구하려고 할 때 만났다. Arc Length 공식에 따라 $\sin x$의 적분을 유도하면 아래와 같다.

\[\begin{aligned} \int \sqrt{1 + f'(x)^2} \, dx &= \int \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx \\ = \int \sqrt{1 + (1 - \sin^2 x)} \, dx &= \sqrt{2} \cdot \int \sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin^2 x} \, dx \end{aligned}\]

즉, 적분 부분이 위에 제시된 Elliptical Integrals의 형태가 된다.

요 적분은 본래 타원 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$의 길이를 구하기 위해 처음 제안 되었다. 실제로 타원에 대한 Arc Length를 구하려고 하면, 저런 적분식을 얻을 수 있다.

Gamma Function

\[\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t} \, dt \; (x > 0)\]

$\Gamma(x) = x \cdot \Gamma(x-1)$라는 성질을 만족하는 함수다. 팩토리얼 $n!$을 자연수에서 실수와 복소수 영역으로 확장시킨 함수다.

요 감마 함수를 기반으로 하는 연속 확률 분포인 “Gamma Distribution”라는 것도 있다. 자세한 내용은 “확률과 통계(MATH230)” 수업 들을 때 정리 했던 블로그 포스트를 참고. Link