급수의 극한을 판정하는 법

복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. 미적분학 포스트 전체 보기

개인적으로 미적1의 마지막 챕터인 수열과 급수에 대한 부분이 미적1에서 제일 헷갈리는 부분이라고 생각합니다. 이번 기회에 해당 내용을 블로그 포스트로 꼼꼼히 정리해보았습니다 😁

단, 요 블로그 포스트에서는 미적분학 교재에서 소개한 급수 판정법만을 다룹니다.

수열의 극한으로 급수의 발산 판단하기

만약 수열 ${ a_n }$가 발산하거나 $0$이 아닌 다른 값으로 수렴한다면, 급수는 발산한다.

단, 수열이 $a_n \rightarrow 0$를 만족하더라고 급수는 발산할 수도 있다. 그 예시가 바로 조화(harmonic) 급수!!

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty\]

적분 판정법

급수의 partial sum이 증가 수열일 때, 즉 모든 텀이 positive 하다면, 그 수열 ${ a_n }$을 대응하는 함수 $f(x)$로 바꾼 후 $[1, \infty)$까지 적분을 해본다!!

만약 적분 값이 결정된다면, 그 값을 해당 급수의 Upper Bound로 삼는다.

그러면 그 급수가 monotonic sequence에 bounded이니 “단조 수렴 정리”를 적용해 해당 급수가 수렴함을 보일 수 있다.

만약 적분이 발산한다면, 급수도 발산한다.

$p$-급수 판정법

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \frac{1}{1^p} + \frac{1}{2^p} + \dots + \frac{1}{n^p} + \dots\]

$p$-급수는 $p > 1$일 때는 수렴하고, $p \le 1$일 때는 발산한다.

사실 적분 판정법으로 유도되는 성질임.

급수에 대한 샌드위치 정리

세 급수 $\sum a_n$, $\sum b_n$, $\sum c_n$가 있을 때, 어떤 큰 $n$에 대해서 $a_n \le b_n \le c_n$를 만족한다고 하자. 그러면,

• 만약 오른쪽의 급수 $\sum c_n$가 수렴한다면, $\sum b_n$도 수렴한다.
• 만약 왼쪽의 급수 $\sum a_n$가 발산한다면, $\sum b_n$도 발산한다.

극한 비교 판정법

두 수열 ${ a_n }$, ${ b_n }$이 어떤 큰 $n$에서 $a_n, b_n > 0$라고 할 때,

• 만약 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n/b_n = c > 0$라면, $\sum a_n$과 $\sum b_n$을 둘다 수렴하거나 아님 둘다 발산한다.
• 만약 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n/b_n = 0$라면, $\sum b_n$가 수렴할 때, $\sum a_n$도 수렴한다.
• 만약 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n/b_n = \infty$라면, $\sum b_n$가 발산할 때, $\sum a_n$도 발산한다.

이 방식은 (1) 두 수열의 비율에 대한 극한과 (2) 급수 $\sum b_n$의 극한을 가지고 급수 $\sum a_n$의 극한의 수렴/발산을 판정하는 방식이다. (1), (2) 둘다 구해야 함에 유의하자.

수렴/발산을 확인하고 싶은 급수를 $\sum a_n$으로 두고 문제를 풀면 된다.

예시. $\sum \frac{2n+1}{(n+1)^2}$의 수렴/발산을 판단하라.

$\sum b_n = \sum 1/n$로 두고, 두 수열을 비교해보자. $\sum 1/n$은 조화 수열의 합으로 $\infty$로 발산한다.

\[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n+1)n}{(n+1)^2} = 2\]

즉, 극한 비교 판정법에서의 1번 케이스에 해당한다. 이 경우는 두 급수의 수렴/발산이 동일해진다. 비교에 사용한 급수 $\sum b_n$이 발산하므로, 확인하려는 급수 $\sum a_n$도 발산한다. $\blacksquare$

절대 수렴 판정법

“절대 수렴”라는 개념은 본래 양수-음수가 번갈아가며 나오는 “교대 급수”에서 다루는 개념이다. 이에 대해서는 별도의 블로그 포스트에서 다루었다. 링크

그런데, 교대 급수에 대한 모든 절대 수렴 판정법은 일반 급수에도 그대로 적용할 수 있다. 왜냐하면, 어떤 급수가 절대 수렴하면, 그 급수가 수렴하기 때문이다.

If $\sum_{n=1}^{\infty} | a_n |$ converges, then $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges too.

아래부터는 교대 급수의 절대 수렴 판정에서 사용하는 것들이다.

비교 판정법

수열의 증가율을 얼마나 되는지를 판단하기 위한 방법이다. 기하 급수 $\sum ar^n$의 극한 판정에서 $ar^{n+1}/ar^n = r$을 기준으로 극한을 판단하는 것과 비슷한 접근이다.

교대 수열의 증가율 $\rho$을 아래와 같이 정의하자.

\[\lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a^n} \right| = \rho\]

• $\rho < 1$라면, “절대 수렴”한다.
• $\rho > 1$라면, 발산한다.
• $\rho = 1$라면, 판단할 수 없다.

루트 판정법

교대 수열에 루트를 씌워서 판단할 수도 있다.

교대 수열에 대해서 $\rho$를 아래와 같이 정의하자.

\[\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} = \rho\]

• $\rho < 1$라면, “절대 수렴”한다.
• $\rho > 1$라면, 발산한다.
• $\rho = 1$라면, 판단할 수 없다.