교대 급수의 극한을 판정하는 법
복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. 미적분학 포스트 전체 보기
개인적으로 미적1의 마지막 챕터인 수열과 급수에 대한 부분이 미적1에서 제일 헷갈리는 부분이라고 생각합니다. 이번 기회에 해당 내용을 블로그 포스트로 꼼꼼히 정리해보았습니다 😁
교대 급수의 극한
수열 ${ a_n }$가 양수와 음수가 번갈아가며 나오는 수열을 “교대 수열”이라고 한다. 이런 수열의 급수를 “교대 급수”라고 하고, 이를 다루기 위한 급수 판정법이 따로 존재한다.
이때, 교대 급수에 대한 모든 판정법은 앞에서 봤던 positive 급수들의 판정에도 그대로 사용할 수 있다!!!
그 이유는 아래 정리가 성립하기 때문이다.
If $\sum_{n=1}^{\infty} | a_n |$ converges, then $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges too.
절대 수렴
만약 교대 수열에 절댓값을 씌운 수열에 대한 급수 $\sum | a_n |$가 수렴한다면, 급수 $\sum a_n$는 “절대 수렴(Absolutely Convergent)”한다고 말한다.
예시. $\sum \frac{\sin n}{n^2}$라는 교대 급수를 생각해보자. 이 수열은 절대 수렴 하는가?
대응하는 절대 급수 $\sum | \frac{\sin n}{n^2} |$가 수렴하는지 확인하면 된다. 이때, 비교를 위한 다른 급수 $\sum \frac{1}{n^2}$와 비교하면, $| \sin n | \le 1$이므로 $\sum | \frac{\sin n}{n^2} | < \sum \frac{1}{n^2}$가 되는데, 우항의 급수가 수렴하므로 급수 $\sum \frac{1}{n^2}$는 절대 수렴한다.
비교 판정법
수열의 증가율을 얼마나 되는지를 판단하기 위한 방법이다. 기하 급수 $\sum ar^n$의 극한 판정에서 $ar^{n+1}/ar^n = r$을 기준으로 극한을 판단하는 것과 비슷한 접근이다.
교대 수열의 증가율 $\rho$을 아래와 같이 정의하자.
\[\lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a^n} \right| = \rho\]- $\rho < 1$라면, 절대 수렴한다.
- $\rho > 1$라면, 발산한다.
- $\rho = 1$라면, 판단할 수 없다.
루트 판정법
교대 수열에 루트를 씌워서 판단할 수도 있다.
교대 수열에 대해서 $\rho$를 아래와 같이 정의하자.
\[\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} = \rho\]- $\rho < 1$라면, 절대 수렴한다.
- $\rho > 1$라면, 발산한다.
- $\rho = 1$라면, 판단할 수 없다.
주로 수열에 $n$-th power가 있는 경우에 사용하면 효과적이다.
예시. 아래와 같이 정의된 교대 수열의 급수가 수렴하는지 판단하라.
\[a_n = \begin{cases} n/2^n, & n \text{ odd} \\ 1/2^n, & n \text{ even} \end{cases}\]$n$이 even인 경우는 쉽게 $\rho = 1/2$임을 보일 수 있고, odd인 경우는 $\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\left| n/2^n \right|} = \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|n|} / 2 = 1/2$로 두 경우의 $\rho$ 값이 같다!
교대 급수 판정법
수열 ${ a_n }$가 단조 감소 수열이고, $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$이라면, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot a_n$는 수렴한다.
신기한 점은 “수열 ${ a_n }$가 단조 감소 수열이고, $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$”라는 조건은 급수 $\sum a_n$의 수렴/발산에 대해선 아무것도 말해줄 수 없지만, 급수 $\sum (-1)^n \cdot a_n$에 대해서는 수렴한다는 것을 보장한다.
하지만, 위의 정리의 역은 성립하지 않는다. 교대 급수는 수렴해도 그것의 절대 급수는 수렴하지 않는 반례가 있기 때문이다.
조건부 수렴
교대 급수는 수렴하는데, 그것의 절대 급수는 수렴하지 않는 경우가 종종 있다. 대표적인 사례가 바로 “교대 조화 급수”이다.
\[\sum (-1)^n \cdot \frac{1}{n}\]이 급수는 앞에서 본 “교대 급수 판정법”의 조건을 만족하므로, 교대 급수가 수렴한다. 그러나 절대 급수인 조화 급수는 발산한다: $\sum 1/n \rightarrow \infty$
이런 급수를 “조건부 수렴(Conditionally Convergent)“하다고 정의한다.
교대 p-급수
$p$-급수 $\sum \frac{1}{n^p}$의 성질을 살펴볼 때, 요 녀석들은 $p > 1$이면 수렴하고, $0 < p \le 1$이면 발산한다는 걸 확인 했다.
그러나 이 급수를 교대 급수로 바꾼 $\sum (-1)^n \cdot \frac{1}{n^p}$에 대해서는 아래가 성립한다.
- $p > 1$에서 교대 $p$-급수는 절대 수렴한다.
- $0 < p \le 1$에서 교대 $p$-급수는 조건부 수렴한다.
- 수렴하는 이유는 “교대 급수 판정법” 때문.
절대 수렴과 조건부 수렴에 대한 종합
| $\sum a_n$ | $\sum | a_n |$ | 현상 |
|---|---|---|
| 수렴 | 수렴 | 절대 수렴 (절대 수렴 판정법에 의해) |
| 수렴 | 발산 | “조건부 수렴”라고 부름 |
| 발산 | 수렴 | 불가능 (절대 수렴 판정법을 위배) |
| 발산 | 발산 | 당연 (절대 수렴 판정법의 대우) |
재배열 정리
여기서부터는 기존의 급수에서 수열을 재배열(rearrange)하여 더한 결과가 기존 급수와 같은지 달라지는지를 판단한다.
절대 수렴 급수에 대한 재배열
If $\sum a_n$ converges absolutely, and $b_1, b_2, …, b_n, …$ is any arrangement of the sequence ${ a_n }$, then $\sum b_n$ converges absolutely too, and
\[\sum b_n = \sum a_n\]조건부 수렴 급수에 대한 재배열
그러나 조건부 수렴하는 교대 급수는 재정렬 한 급수가 완전히 다른 값으로 수렴하게 만들 수 있다.
예를 들어, 교대 조화 급수 $\sum (-1)^{n+1} / n$을 재배열 해보자. 이때, 교대 조화 급수의 수렴값은 $L > 0$라고 하자. ($L \ne 0$임은 교대 급수 수렴값을 estimatino 하는 어떤 정리를 사용해야 한다… 그러나 일단은 패스..!)
조화 교대 급수에 $2$를 곱한다면, 그 급수의 수렴값은 $2L$이 될 것이다.
\[\begin{aligned} 2L = 2 \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} &= 2 (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \cdots) \\ &= 2 - 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{1}{3} + \frac{2}{7} - \frac{1}{4} + \cdots \end{aligned}\]이것을 아래와 규칙에 따라 재배열 해보자.
- 양수 홀수 분모를 가진 항은 그것에 대응되는 같은 홀수 분모를 가진 음수 항과 쌍을 이루게 한다.
- 음수 짝수 분포를 가진 항은 그 자리 그대로 둔다.
즉, $2L = L$라는 결과가 나오는데, 이것은 거짓이다!! 왜냐하면 처음에 $L \ne 0$라는 조건에 위배되기 때문이다!
리만 재배열 정리
이렇듯 조건부 수렴하는 급수를 재배열 하는 것은 매우 위험하다. 순서를 바꾸기만 하면, 수렴값 $L$과 다른 수렴값을 유도할 수 있기 때문.
조건수 수렴 급수의 이런 성질을 확인하고 기술한 것이 바로 아래의 “리만 재배열 정리”이다.
조건부 수렴하는 무한 급수는 항의 순서를 적당히 바꿔서, 임의의 값으로 수렴하게 하거나 $\pm \infty$로 발산하도록 할 수 있다.
위의 정리는 리만 재배열 정리를 엄밀히 기술한 것은 아니지만, 조건부 수렴을 재배열 하는 것이 얼마나 신기한 일인지는 제대로 얘기하고 있다. 이런 성질은 무한번 더하는 행위와 유한번 더하는 행위가 같다고 생각하지 말라는 교훈을 준다.
그란디 급수
\[1 -1 + 1 -1 + \cdots\]$1$과 $-1$을 번갈아서 더하는 급수다.
일단 무한급수의 극한 정의에 따라 부분합의 극한을 확인해보면, 그란디 급수는 발산함을 알 수 있다.
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-1} \right) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1-(-1)^n}{2}\]그런데, 그란디 급수를 재배열 하면 급수를 수렴시킬 수 있다.
만약 $(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots$로 묶는다면, 재배열한 그란디 급수는 $0$으로 수렴한다.
만약, $1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots$로 묶는다면, 재배열한 그란디 급수는 $1$로 수렴한다.
이렇듯 그란디 급수의 재배열도 여러 수렴 값이 나오게 된다.