Vector and Space: Problem Solving

행렬식으로 평면의 방정식 정의하기. Tagent-Normal-Binormal Vector로 구성되는 TNB 프레임. 🎢

June 30, 2024 11 minute read

복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. 미적분학 포스트 전체 보기

직선 정의하기Permalink

2차원에서Permalink

평면 상의 두 점 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ 에 대해 두 점을 지나는 직선은 아래와 같이 정의된다.

y = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1}) + y_{1}

3차원에서Permalink

공간 상의 두 점 $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 에 대해 두 점을 지나는 직선은 아래와 같이 정의된다.

\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}

다시 하려고 보니 기억이 안 났었다 ㅋㅋㅋ ㅠㅠ ~~고등학교 때 배웠던 건데…~~

평면 정의하기Permalink

평면을 정의하는 방법은 여러 가지가 있지만, 여기서는 법선 벡터(normal vector) $\vec{n} = (a, b, c)$ 와 한 점 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 를 지나는 평면으로 구해보겠다.

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0

내적을 사용해서도 표현할 수 있는데, 한 점 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 를 시점으로 갖는 벡터 $\vec{p} = (x - x_{0}, y - y, z - z_{0})$ 를 생각해보자. 그러면 평면은 아래와 같이 내적으로 정의된다.

\vec{n} \cdot \vec{p} = 0

Determine a plane - 1Permalink

‖ \begin{matrix} x_{1} - x & y_{1} - y & z_{1} - z \\ x_{2} - x & y_{2} - y & z_{2} - z \\ x_{3} - x & y_{3} - y & z_{3} - z \end{matrix} ‖ = 0

위의 방정식이 서로 한 직선에 있지 않는(non-collinear), 세 점 $P_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $P_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , $P_{3} (x_{3}, y_{3}, z_{3})$ 을 지나는 평면을 정의하는 방정식임을 보여라.

세 점이 구성하는 평면 위에 존재하는 다른 한 점 $P (x, y, z)$ 를 생각해보자. 그리고 $P$ 를 종점으로 하는 세 벡터를 생각해보자: $\vec{P_{1} P}$ , $\vec{P_{2} P}$ , $\vec{P_{3} P}$

이때, $\vec{P_{2} P}$ , $\vec{P_{3} P}$ 를 외적하여 평면의 법선 벡터 $\vec{n}$ 을 유도하면 아래와 같다.

\begin{aligned} \vec{n} & = (x_{2} - x, y_{2} - y, z_{2} - z) \times (x_{3} - x, y_{3} - y, z_{3} - z) \\ = ‖ \begin{array}{c} i & j & k \\ x_{2} - x & y_{2} - y & z_{2} - z \\ x_{3} - x & y_{3} - y & z_{3} - z \end{array} ‖ \end{aligned}

벡터 $\vec{n}$ 은 평면의 법선 벡터이므로 $\vec{P_{1} P}$ 와 내적해서 평면의 방정식을 구할 수 있다!! 이때, 내적은 저 행렬식에서 맨 위의 $(i, j, k)$ 부분과 term-by-term으로 수행하면 된다. 따라서

\begin{aligned} (x_{1} - x, y_{1} - y, z_{1} - z) \cdot ‖ \begin{array}{c} i & j & k \\ x_{2} - x & y_{2} - y & z_{2} - z \\ x_{3} - x & y_{3} - y & z_{3} - z \end{array} ‖ \\ = ‖ \begin{array}{c} x_{1} - x & y_{1} - y & z_{1} - z \\ x_{2} - x & y_{2} - y & z_{2} - z \\ x_{3} - x & y_{3} - y & z_{3} - z \end{array} ‖ = 0 \end{aligned}

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Determine a plane - 2Permalink

이번에는 아래의 행렬식이 세 점을 지나는 평면을 이룸을 증명해보자.

‖ \begin{matrix} x & y & z & 1 \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \end{matrix} ‖ = 0

가우스 소거법? 이었나 그거 비스무리하게 쓰면 된다. 첫 행 $(x, y, z, 1)$ 을 행렬 전체에 대해 소거 시켜 준다.

‖ \begin{matrix} x & y & z & 1 \\ x_{1} - x & y_{1} - y & z_{1} - z & 0 \\ x_{2} - x & y_{2} - y & z_{2} - z & 0 \\ x_{3} - x & y_{3} - y & z_{3} - z & 0 \end{matrix} ‖ = 0

이때, 요 4차원 행렬에 대해 행렬식을 구하면 되는데, 신발끈 공식을 써서 진행한다고 해보자. 그런데, 제일 우측의 영벡터인 열벡터 때문데 첫 행의 $x$ , $y$ , $z$ 에 곱해지는 $det A$ 의 값이 0이 된다. 하지만, 마지막의 $1$ 에 대한 $det A$ 를 구할 때는 0으로 소거되는 부분이 없고, 또한 $det A$ 가 바로 위에서 구한 평면을 결정하는 3차원 행렬의 Determinant다!! 즉, 위의 4차원 행렬에 대한 방정식도 3차원에서 세 점을 지나는 평면을 표현하는 방정식이다. $◼$

Vector Function and Space CurvePermalink

함숫값이 벡터인 함수를 말함.

\vec{r} (t) = (f (t), g (t), h (t))

연속인 벡터 함수는 공간 상에서 곡선을 그린다.

Gilbert Strang - Calculus Vol 3.

Tangent VectorPermalink

APEX Calculus Textbook

벡터 함수 $\vec{r} (t)$ 를 term-by-term으로 미분한 함수를 말한다.

{\vec{r}}^{'} (t) = (f^{'} (t), g^{'} (t), h^{'} (t))

공간 곡선의 한 점에 접하는 직선의 방향이라고 볼 수 있다. Tangent Vector의 방향만 알고 싶을 때는 Unit Tangent Vector를 사용한다.

\vec{T} (t) = \frac{{\vec{r}}^{'} (t)}{| {\vec{r}}^{'} (t) |}

Vector Functions of Constant LengthPermalink

벡터 함수 $\vec{r} (t)$ 의 길이가 상수값 $c$ 로 고정 되어 있다면, 아래 등식이 성립한다.

\vec{r} (t) \cdot \vec{r^{'}} (t) = 0

즉, 벡터 함수의 그것의 접선 벡터가 서로 수직이다.

CLP Calculus Textbook

예를 들어, 2차원의 원 위에서 한 점에서 그은 Tangent Vector는 항상 위치 벡터 $\vec{r} (t)$ 와 수직한다. 이것은 3차원 이상에서도 성립한다.

증명은 어렵지 않다.

\begin{aligned} \vec{r} (t) \cdot \vec{r} (t) & = c^{2} \\ \frac{d}{d t} (\vec{r} (t) \cdot \vec{r} (t)) & = 0 \\ 2 \vec{r} (t) \cdot \vec{r^{'}} (t) & = 0 \end{aligned}

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Normal VectorPermalink

Unit Tangent Vector $\vec{T} (t)$ 에 대해 수직하는 법선 벡터(Normal Vector)를 찾고자 한다. 그런데 유일하게 결정되는 Unit Tangent Vector와 달리 $\vec{T} (t)$ 에 수직하는 법선 벡터는 무수히 많다…!

이때, 접선 벡터 $\vec{T} (t)$ 가 길이 1인 unit vector이므로 아래의 등식이 성립한다.

\vec{T} (t) \cdot {\vec{T}}^{'} (t) = 0

즉, 접선 벡터 $\vec{T} (t)$ 를 또 하나의 공간 곡선으로 보고, 그것의 접선 벡터 ${\vec{T}}^{'} (t)$ 를 구해보면, 그 둘이 수직 관계에 있다는 것이다…!

이 사실을 바탕으로 아래와 같은 법선 벡터를 정의해보자.

\vec{N} (t) = \frac{{\vec{T}}^{'} (t)}{| {\vec{T}}^{'} (t) |}

접선 벡터의 접선 벡터로 정의한 요 법선 벡터를 “Principal Unit Normal Vecor” $\vec{N} (t)$ 라고 부른다. 편하게 “unit normal”라고도 부른다.

CLP Calculus Textbook

Normal Vector는 항상 곡선의 안쪽 방향(inner side of the curve)을 가리킨다는 특징이 있다. 예를 들어, 위의 그림처럼 법선 벡터가 곡선의 안쪽을 항할 수 있지만, 곡선의 바깥쪽으로 향해도 접선 벡터 $\vec{T} (t)$ 와 수직한다. 서로 반대 방향의 법선 벡터 중에 선택되는 것은 항상 안쪽 방향의 벡터다.

외적의 방향을 결정할 때 자주 쓰는 오른손 법칙으로 쉽게 생각하면,

검지 = 접선 벡터 $\vec{T} (t)$
엄지 = 법선 벡터 $\vec{N} (t)$
중지 = 종법선 벡터 $\vec{B} (t)$ (xy 평면에서는 z축 방향을 가리킴)

Binormal VectorPermalink

Gilbert Strang - Calculus Vol 3.

서로 수직하는 두 벡터를 “외적”하면, 그 두 벡터에 수직하는 또 다른 벡터를 얻을 수 있다는 사실을 기억하는가!! 앞에서 서로 수직하는 두 벡터 $\vec{T} (t)$ , $\vec{N} (t)$ 를 구했으니, 외적을 이용해 또 다른 수직 벡터를 구할 수 있다!!

\vec{B} (t) = \vec{T} (t) \times \vec{N} (t)

접선 벡터와 법선 벡터의 외적으로 유도되는 이 벡터를 “종법선 벡터(Binormal Vector)“라고 부른다. 아마 두 벡터에 둘(bi-) 다 수직(normal)인 관계를 만족해서 “Binormal”라는 이름이 붙은게 아닐까…?

The TNB FramePermalink

stewartcalculus.com

공간 곡선의 한 점에서 유도되는 서로 직교하는 세 벡터 $\vec{T}$ , $\vec{N}$ , $\vec{B}$ 를 하나의 좌표계로 해석하는 것을 말한다. xyz 좌표계와 별개로써 공간 곡선 위를 한 점이 이동하면서 곡선의 곡률(curvature), 열률(torsion)에 따라 시시각각 좌표계가 변화하게 되는데, 이를 잘 표현해준다.

stewartcalculus.com에서 에니메이션과 함께 TNB 좌표계를 더 잘 이해해볼 수 있다.

어렸을 때 정말 많이 했던 롤코2... ㅋㅋ

어떻게 보면 “롤러코스터“를 탈 때, 레일 위의 시시각각 변하는 열차의 좌표계라고 이해하면 쉬운 것 같다.

Many shapes on 3-dim spacePermalink

x^{2} + y^{2} = z

x^{2} + y^{2} = z^{2}

맺음말Permalink

뭔가 미분기하(Differential Geometry)의 입문적인 파트라고 하는데… 뭔가 3차원 공간 위에서 이리저리 움직이고 또 모형을 상상해봐야 해서 머리가 아픈 것 같다… ㅠㅠ 이때까지는 머리속에서 생각만 슥슥 했으면 됐는데 ㅠㅠ

Seokyun Ha (aka. bluehorn07)