Vector Fields, and Line Integrals
๋ณต์์ ๊ณตํ๊ณ ์๋ ์ํ๊ณผ์ ์กธ์ ์ํ์ ์ํด ํ๋ถ ์ํ ๊ณผ๋ชฉ๋ค์ ๋ค์ ๊ณต๋ถํ๊ณ ์์ต๋๋ค. ๋ฏธ์ ๋ถํ ํฌ์คํธ ์ ์ฒด ๋ณด๊ธฐ
Gradient FieldsPermalink
์ด๋ค 2๋ณ์ ํจ์
์ด๊ฒ์ ํ ์ ์ด ์๋๋ผ ํจ์
Conservative Vector Field, and Potential FunctionPermalink
๋ฐ๋๋ก ์ด๋ค ๋ฒกํฐ ํ๋๋ ๊ทธ ์๋ณธ์ด ์ด๋ค ์ค์นผ๋ผ ํจ์์ธ ๊ฒ๋ค์ด ์๋ค. ์ด๋ฐ ๋ฒกํฐ ํ๋๋ฅผ โConservative Vector Fieldโ๋ผ๊ณ ํ๋ค. ์ด๋ค์ Gradient
A vector field
์ด๋ฐ Conservative Vector Field์ ์์ ์ค์นผ๋ผ ํจ์๋ โPotential Functionโ๋ผ๊ณ ๋ถ๋ฅธ๋ค.
Line IntegralsPermalink
์ด๋ค ๊ณก์ ์ ๋ฐ๋ผ ํจ์
Scalar Line Integral
Vector Line Integral
์ ์ ๋ถ ๋ถ๋ถ์ ๊ณต๋ถํ๋ค๊ฐ ๋๋ฌด ํท๊ฐ๋ ค์ ๋ณ๋ ํฌ์คํธ๋ก ์ ๋ฆฌํ๋ค. ์ ์ ๋ถ์ ๋ํ ์์ธํ ๋ด์ฉ์ ์๋ ํฌ์คํธ ์ฐธ๊ณ ใ ใ
โก๏ธ Arc Length์ Line Integral
Fundamental Theorem for Line IntegralsPermalink
Let
Let
Then,
์ ๋ถํ๋ ค๋ ํจ์๊ฐ Gradient Field๋ผ๋ ๋ง์ ๊ณง, ๊ทธ ํจ์๊ฐ โConservative Vector Fieldโ์์ ๋งํ๋ค. ์ฆ, Conservative Vector Field์์ ์ฑ๋ฆฝํ๋ ์ ๋ฆฌ๊ฐ โ์ ์ ๋ถ์ ๊ธฐ๋ณธ์ ๋ฆฌโ์ธ ๊ฒ. ์ ๋ถ๊ฐ์ ๊ณ์ฐํ๊ธฐ ์ํด์ ์ ์ ํ Potential Function๋ง ์ฐพ์ผ๋ฉด ๋๋ค.
Work done by Gravitational FieldPermalink
Find the work done by the gravitational field
in moving a particle with mass
์์ ์ ์ ๋ถ์ ๊ณ์ฐํ๊ธฐ ์ํด์ ๋ฌธ์ ์ ์ ์๋ piecewise-smooth curve
์ค๋ ฅ์ฅ
potential function์ ์ฐพ์์ผ๋ ์ ์ ๋ถ์ ๊ธฐ๋ณธ์ ๋ฆฌ๋ก ์ ๋ถ์ ๊ณ์ฐํด๋ณด์.
Independent of PathPermalink
์์ ๊ณผ ์ข
์ ์ ๊ฐ์ง๋ง, ๊ฒฝ๋ก๊ฐ ์๋ก ๋ค๋ฅธ piecewise-smooth curve
์ผ๋ฐ์ ์ธ ๋ฒกํฐ ํ๋์์๋ ๋ ์ ์ ๋ถ์ ๊ฐ์ด ๊ฐ์ง ์๋ค.
๊ทธ๋ฌ๋ ๋ฒกํฐ ํ๋๊ฐ Conservative Vector Field๋ผ๋ฉด, ๋ ์ ์ ๋ถ์ ๊ฐ์ด ๊ฐ์์ง๋ค.
์๋ํ๋ฉด, ๋ ์ ์ ๋ถ์ด ์์ , ์ข ์ ์์์ potential function์ ๊ฐ ์ฐจ์ด๋ก ๊ณ์ฐ๋๊ธฐ ๋๋ฌธ์ด๋ค.
์ด๊ฒ์ ์ ๋ฆฌํ ๊ฒ์ด ์๋์ ๋ฌธ์ฅ์ด๋ค.
Line integrals of a continuous conservative vector field with a differentiable potential function are โindependent of pathโ.
On a Closed CurvePermalink
์ด๋ฒ์๋ ๋ซํ ๊ณก์
์์ ์ ์ ๋ถ์ ๊ฒฝ๋ก
(์๊ธฐ์์ opposite direction ์ ๋ถ ๋ณผ ๋, ์ค์นผ๋ผ ์ ์ ๋ถ์ด๋ ํท๊ฐ๋ ค์ ํ์ฐธ ๊ณ ๋ฏผํจโฆ ใ ใ )
TheoremsPermalink
Independent of Path implies ConservativePermalink
๋ง์ฝ ์ฃผ์ด์ง ๋ฒกํฐ ํ๋์ ์ ๋ถ์ด ์ฃผ์ด์ง ๋๋ฉ์ธ
๋ณธ๋ Conservative Field๋ฉด, Independent of path๋ฅผ ๋ง์กฑํ๋๋ฐ, ๊ทธ ์ญ ๋ช ์ ๋ ์ฑ๋ฆฝํจ์ ๋งํ๋ค.
If Conservative Field, thenPermalink
๋ง์ฝ ๋ฒกํฐ ํ๋
์ฆ๋ช
์ ๊ฐ๋จํ๋ฐ, ๋ฒกํฐ ํ๋
๋ฐ๋ผ์ ๊ฐ ์ฑ๋ถ
์ด์ ,
Condition of conservative fieldPermalink
๋ฐ๋ก ์์์ ์ดํด๋ณธ ๋ช ์ ์ ์ญ ๋ช ์ ๊ฐ ์ธ์ ์ฑ๋ฆฝํ๋์ง๋ ์ดํด๋ณด์.
Let
Suppose that
Then,
์ฃผ์ด์ง ๋ฒกํฐ ํ๋๊ฐ Conservative ํ์ง ํ๋จํ๋ ๋ ๋ค๋ฅธ ๋ฐฉ๋ฒ์ด๋ค. Conservative ์ฌ๋ถ๋ฅผ ํ๋จํ๊ธฐ ์ํด์
๊ทธ๋ฐ๋ฐ ์ฌ๊ธฐ์ ์ฒ์ ๋ฑ์ฅํ ๊ฐ๋ ์ด โsimply-connected regionโ์ด๋ค. ๋์ถฉ ๋๋ ์ ์ค๋ช ํ๋ฉด,
Gilbert Strang - Calculus Vol 3.
โsimple curveโ๋ ๊ณก์ ์์ฒด๊ฐ ์๊ธฐ ์์ ๊ณผ ๋ค์ ๋ง๋์ง ์๋ ๋์ด์คํ ๊ณก์ ์ ๋งํ๋ค.
โsimply-connected regionโ์ ์์ญ ์์ ๊ทธ๋ฆด ์ ์๋ ๋ชจ๋ simple closed curve ์์ ์ ์ด ๋ชจ๋ ์์ญ
Gilbert Strang - Calculus Vol 3.
๋ง์ฝ ์์ญ ์์ ๊ตฌ๋ฉ(hole)์ด ์๋ค๋ฉด, ๊ทธ ๊ตฌ๋ฉ์ ๋๋ฌ์ธ๋ simple closed curve๊ฐ ๋ง๋๋ ์์ญ ์์๋ ์์ญ